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初中数学竞赛辅导讲义（初三）
第一讲 分式的运算
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1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]
111 + +
x2?3x?2x2?5x?6x2?7x?12111解：原式= + +
(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)(x?3)(x?4)111111= - + - + - x?1x?2x?2x?3x?3x?43 =
(x?1)(x?4)x?y?z(x?y)(y?z)(z?x)x?y?z?x?y?z例2． 已知 = = ，且xyz?0，求分式的值。
yxyzzx例1．化简
.
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?x?y?kz(1)x?zx?yy?z?解：易知： = = =ｋ 则?x?z?ky(2) （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0
yzx?y?z?kx(3)?若ｋ=2则原式= k3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k3 =-1
x2x例3．设 2 =1，求 4的值。 22x?mx?1x?mx?11x2?mx?1x4?m2x2?1112222解：显然X?0，由已知 =1 ，则 x + = ｍ + 1 ∴ = ｘ + - ｍ= (x +)-2 –ｍ 22xxxxx=( ｍ +1)-2- ｍ= 2ｍ -1 ∴原式=
221
2m?1例4．已知多项式3x3 +ax +3x +1 能被x+1整除，求ａ的值。
22解：
.
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3x?aX2?13x3?ax2?3x?1
3x3?O?3x
ax2?1ax2?a1?a
1- ａ=0 ∴ ａ=1
例5：设ｎ为正整数，求证
1111 + + …… +＜
(2n?1)(2n?1)1?31?52证：左边=
111111（1 - + - + …… + - ） 23352n?12n?1.
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