3.2.3 指数函数与对数函数的关系
自主学习
学习目标
1.理解反函数的定义.
2.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,a≠1).
3.通过描点法作出指数函数、对数函数的图象,掌握它们的性质.
自学导引 1.反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的____________,而把这个函数的自变量作为新的函数的____________.称这两个函数互为反函数.
(2)反函数的记法:函数y=f(x)的反函数通常用____________表示.
2.指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y=ax与对数函数y=loga x____________.
(2)指数函数y=ax与对数函数y=loga x的图象关于________对称.
对点讲练
知识点一 求函数的反函数问题
例1 求下列函数的反函数.
?1?x
(1)y=?4?;
??
(2)y=log2x,x∈(1,8);
(3)y=x2+1,x∈(0,+∞).
规律方法 求函数y=f(x)的反函数的步骤为: (1)由y=f(x)解出x=f-1(y); (2)由函数y=f(x)求y的范围;
(3)x、y互换得y=f-1(x),注明定义域,即函数y=f(x)的值域. 变式迁移1 求下列函数的反函数.
1
(1)y=log2x; (2)y=(3)x; (3)y=5x+1.
知识点二 互为反函数的图象间的关系
例2 设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.
规律方法 根据指数函数与对数函数的图象的关系,利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题.
变式迁移2 本例中若将题干中的两个方程分别改为x+lg x=3和x+10x=3,结果怎样?
知识点三 指数函数与对数函数图象及性质的综合应用
11b11c
a
例3 设a,b,c均为正数,且2=log2a,(2)=log2b,(2)=log2c,则( )
A.a
规律方法 比较数的大小问题,方法灵活,就本题而言,把方程的解看作两函数图象交点的横坐标,从而利用数形结合比较简单,若几个数在不同的范围内,亦可通过求这些数的范围来比较大小.
变式迁移3 三个数60.7,0.76,log0.76的大小关系为( ) A.0.76 学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系,能正确比较指数函数和对数函数的性质,能以它们为例对反函数进行解释和直观理解,掌握互为反函数的两个函数图象关于y=x对称.在解题中反函数的某个函数值,常转化为求原函数的x值,注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用. 求反函数的一般步骤: (1)将y=f(x)看作方程,解出x=f-1(y); (2)将x、y对称,得y=f-1(x); (3)写出反函数的定义域(即原函数的值域). 课时作业 一、选择题 1.函数f(x)=3x (0 C.(0,1) D.[9,+∞) 2.下列函数中,反函数是其自身的函数为( ) A.f(x)=x2,x∈[0,+∞) B.f(x)=x3,x∈(-∞,+∞) C.f(x)=ex,x∈(-∞,+∞) 1 D.f(x)=x,x∈(0,+∞) 3.若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点( ) A.(1,1) B.(1,5) C.(5,1) D.(5,5) 4.已知f(x)=ax(a>0,且a≠1),g(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( ) 5.设函数f(x)=logax(a>0且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)的值是( ) 2 A.log32 B.2 C.2 D.2 二、填空题 6.函数y1=log3x与函数y2=3x,当x从1增加到m时,函数的增量分别是Δy1与Δy2,则Δy1______Δy2(填“>”,“=”或“<”) 1 7.函数y=3+log2x(x≥1)的反函数的定义域为________. 1x 8.已知函数f(x)=(2)的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,令h(x)=g(1-|x|),则关于h(x)有下列命题: ①h(x)的图象关于原点对称; ②h(x)为偶函数; ③h(x)的最小值为0. 其中正确命题的序号为________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题 1 9.已知y=2x+a与函数y=3-bx互为反函数,求a,b的值. 【探究驿站】 10.已知f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求y=f(x)的定义域; (2)在函数图象上是否存在不同的两点,使过两点的直线平行于x轴. 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 答案 自学导引 1.(1)自变量 因变量 (2)y=f-1(x) 2.(1)互为反函数 (2)y=x 对点讲练 ?1? 例1 解 (1)由y=?4?x, ?? 1 得x=log4 y,且y>0, 11-∴f(x)=log4x,x∈(0,+∞). (2)由y=log2x,得x=2y,又x∈(1,8),
指数函数与对数函数的关系教案



