第 33 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题
2016 年 9 月 17 日
一、（20 分）如图，上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为 R1 、R2 ，且两柱面外切；其剖面（平 面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各 自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点 O 为 直角坐标系 O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点 O 的母线为 X 轴，上侧柱面过切点 O 的母线为 Y 轴。一束在真空中波长为 ? 的可见光沿 Z 轴负
方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着 Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在 X-Y 平面的投影。 R1 和 R2 远大于傍轴光线 干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为 n0 ? 。试推导第 k 级亮纹在 X-Y 平面的 投影的曲线方程。
已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏） 介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折 射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为 π 的相位突变。b. sin x ? x, 当 x ?? 1 。
二、（20 分）某秋天清晨，气温为 ?C ，一加水员到 实验园区给一内径为 m 、高为 m 的圆柱形不 锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为
cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接 处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后， 加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水， 与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水 员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为 m 。
（1）从清晨到中午，气温缓慢升至 ?C ，问此时 观察柱内水位为多少假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。
（2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少求这个过程中罐内空 气的热容量。
5已 知 罐 外 气 压 始 终 为 标 准 大 气 压p0?1.01?10pa, 水 在 ?C时 的 密 度 为
?0?1.00?103kg?m?3??水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为 ? ? ? 10?4 K ?1，重力加速度
大小为g?9.80m?s，绝对零度为 ??C.
三、（20 分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的 318 倍）。假设地球与木星均沿 圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其 它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为 ms 和 m j ，引力常量为 G 。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是 re 和 rj 。假设在某个时刻，地球与 太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为 ? 。这时若太阳质量突然变为零，求
? m ?1027 kg 、木星公转周期 T ? 12 y 。
?2（1）此时地球相对木星的速度大小 vej 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率 v0 。
30 kg 、 （ 2 ）试讨 论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（ 1 ）中结果和数据 m ? ? 10
四、（20 分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长 为 L 、质量为 m 、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性 绳的一端系在桥沿 b，绳的另一端系一质量为 M 的小物块（模拟蹦 极者）；假设 M 比 m 大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和 蹦极者的重力向下拉时会显着伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者 从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过
程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为 g 。 （1）求蹦极者从静止下落距离 y （ y ? ）时的速度和加速度的
L
大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。 （2）求蹦极者从静止下落距离 y （ y ? ）时，绳在其左端悬点 b
L
处张力的大小。
五、（20 分）一种拉伸传感器的示意图如图 a 所示：它 由一半径为 r2 的圆柱形塑 料棒和在上 面紧密缠绕
N
（ N ?? 1 ）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为 r1 ， 外表面均匀涂有厚度为 t（ t ?? r1 ?? r2 ）、电阻率为 ? 的 石墨烯材料；传感器两端加有环形电极（与绳保持良好 接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为 N 个椭圆环挨在一 起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹 角为 ? （见图 a），相邻两圈绳之间的接触电阻为 Rc 。 现将整个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现 n 个缝隙，每个缝隙中刚好有一整圈绳，这圈绳被自动调
节成由一个未封闭圆环和两段短直线段（与塑料棒轴线平行）串接而 成（见图 b）。假设拉伸前后 ? 、 r1 、 r2 、 ? 、 t 均不变。 （1）求拉伸后传感器的伸长率 ? （ ? 是传感器两电极之间距离的伸 长与其原长之比）和两环形电极间电阻的变化率；
（2）在传感器两环形电极间通入大小为 I 的电流，求此传感器在未 拉伸及拉伸后，在塑料棒轴线上离塑料棒中点 O 距离为 D （ D 远大于传感器长度）的 P 点（图中未画出）处沿轴向的磁感应强度。
已知：长半轴和短半轴的长度分别为 a 和 b 的椭圆的周长为?(3a?b?ab)，其中b?0. 2
六、（20 分）光电倍增管是用来将光信号转 化为电信号并加以放大的装置，其结构如 图 a 所示：它主要由一个光阴极、n 个倍增 级和一个阳极构成；光阴极与第 1 倍增级、 各相邻倍增级及第 n 倍增级与阳极之间均 有电势差 V ；从光阴极逸出的电子称为光 电子，其中大部分（百分比? ）被收集到第
1 倍增级上，余下的被直接收集到阳极上；
每个被收集到第 i 倍增级（ i ? 1,?, n ）的电子在该电极上又使得 ? 个电子（ ? ? 1 )逸出；第 i 倍增 级上逸出的电子有大部分（百分比 ? ）被第 i ? 1 倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被 阳极收集，实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为 e 。 （1）求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知 ?? ? 1 ， n ?? 1 ；
（2） 为使尽可能多的电子从第 i 倍增级直接到达第 i ? 1 倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中， 会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为 a 且相邻倍增级间 的几何位置如图 b 所示，倍增级间电势 差引起的电场很小可忽略。所施加的匀 强磁场应取什么方向以及磁感应强度大 小为多少时，才能使从第 i 倍增级垂直出 射的能量为 Ee 的电子中直 接打到第 i ? 1 倍增级的电子最多磁感应强度大
小为多少时，可以保证在第 i ? 1 倍增级 上至少收集到一些从第 i 倍增级垂直出 射的能量为 Ee 的电子
七、（20 分）两根质量均匀分布的杆 AB 和 BC，质 量均为 m ，长均为 l ，A 端被光滑铰接到一固定点（即 AB 杆可在竖直平面内绕 A 点无摩擦转动）。开始时 C 点有外力保持两杆静止，A、C 在同一水平线 AD 上， A、B、C 三点都在同一竖直平面内， ?ABC ? 60? 。 某时刻撤去外力后两杆始终在竖直平面内运动。 （1）若两杆在 B 点固结在一起，求
（i）初始时两杆的角加速度；
（ii）当 AB 杆运动到与水平线 AD 的夹角为 ? 时，AB 杆绕 A 点转动的角速度。
（2）若两杆在 B 点光滑铰接在一起（即 BC 杆可在竖直平面内绕 B 点无摩擦转动），求初始时两 杆的角加速度以及两杆间的相互作用力。
八、（20 分）质子是由更小的所谓“部分子”构成的。欧洲大型强子对撞机（LHC）是高能质子
图 b
- 质子对撞机，质子束内单个质子能量为 E ? TeV （1TeV ? 103GeV=1012 eV ），两束能量相同的 质子相向而行对撞碎裂，其中相撞的两个部分子 a、b 相互作用湮灭产生一个新粒子。设部分子 a、 b 的动能在质子能量中所占的比值分别为 xa 、 xb ，且远大于其静能。
（1）假设两个部分子 a、b 对撞湮灭产生了一个静质量为 ms = TeV/c 的新粒子 S，求xa和xb2
的乘积
xaxb;
（2）假设新粒子 S 产生后衰变到两个光子，在新粒子 S 静止的参考系中，求两光子的频率； （3）假设新粒子 S 产生后在其静止坐标系中衰变到两个质量为 m ? GeV/c2 的轻粒子 A，每个 轻粒子 A 再衰变到两个同频率的光子，求在这个坐标系中这两个光子动量之间的夹角。
已知：sin ? ? ? , 当? ?? 1 ；普朗克常量 h ? ?10?34 J ? s ，电子电荷量绝对值
e ? ?10?19 C 。
一、
第33届全国中学生物理竞赛复赛试题(题目word版)-+答案
