2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（详细版）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每个小题给的四个选项中，只有一项符合题目的要求，把所选项前面的字母填在题后的括号里） （301）（1）当x?0?时，与x等价的无穷小量是（ ）
(A)1?ex (B)ln(1?x) (C)1?x?1 (D)1?cosx
（101、201）（2）当x?0?时,与x等价的无穷小量是( )
(A)1?ex
(B)ln1?x 1?x
(C)1?x?1
(D)1?cosx
(ex?e)tanx（202）（3）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? ( ) 1??x?ex?e????? （A）0 （B）1 （C）? （D）
221x（102、205、306）（4）曲线y??ln(1?e),渐近线的条数为( )
x(A)0 (B)1 (C)2
(D)3
（104、204、302）（5）设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是( )
f(x)f(x)?f(?x)存在,则f(0)?0 (B)若lim存在,则f(0)?0
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)(C)若lim存在,则f?(0)?0 (D)若lim存在,则f?(0)?0
x?0x?0xx(A)若lim（105、206）（6）设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令
un?f(n),n?1,2,.则下列结论正确的是( )
(A)若u1?u2,则{un}必收敛 (C)若u1?u2,则{un}必收敛
(B)若u1?u2,则{un}必发散 (D)若u1?u2,则{un}必发散
（103、203）（7）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设
F(x)??f(t)dt，则下列结论正确的是( )
0x （A）F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2)
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（207）（8）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充分条件是( )
（A）
(x,y)??0,0?lim?f(x,y)?f(0,0)??0.
（B）limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0.
y?0xy（C）
(x,y)??0,0?limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.
（D）lim?fx?(x,0)?fx?(0,0)??0,且lim?fy?(0,y)?fy?(0,0)??0.
x?0??y?0??（208、304）（9）设函数f(x,y)连续，则二次积分
（A）（C）
???2dx?101sinxf(x,y)dy等于( )
?dy??01??arcsinyf(x,y)dx （B）
?dy??10??arcsinyf(x,y)dx
f(x,y)dx
?dy??01??arcsiny2f(x,y)dx （D）?dy????arcsiny2（305）（10）设某商品的需求函数为Q?160?2?，其中Q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）
（A） 10 （B） 20 (C) 30 （D）40
（106）（11）设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是( )
(A) (C)
???f(x,y)dx
(B)(D)
??f(x,y)dy
f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy
?f(x,y)ds
??（107、209、307）（12）设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是（ ）
(A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
(B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
?2?1?1??100?????（108、210、308）（13）设矩阵A???12?1?，B??010?则A与B( )
??1?12??000?????（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似
（109、309）（14）某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )
(A)3p(1?p)2
(B)6p(1?p)2
(C)3p2(1?p)2 (D)6p2(1?p)2
（110、310）（15）设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关, fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为( )
(A) fX(x)
(B) fY(y)
(C) fX(x)fY(y)
(D)
fX(x)fY(y)
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （211）（1） limarctanx?sinx? __________.
x?0x3x3?x2?1(sinx?cosx)?________. （311）（2）limx??2x?x3（111）（3）
?2111exdx= . 3xyx（112）（4）设f(u,v)为二元可微函数,z?f(x,y),则（215、313）（5） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f?（314）（6）微分方程
?z= . ?x?yx??z?z,?，则x?y? __________.
?x?y?xy?dyy1y3??()满足ydxx2xx?1?1的特解为__________. 2x （113、214）(7) 二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e的通解为y= .
?x?cost?cos2t?（212）（8）曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为_________.
4?y?1?sint1，则y(n)(0)?________. 2x?3（114）（10）设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则???x?y?dS?__________.
（213、312）（9）设函数y???0?0（115、216、315）（11）设矩阵A???0??0100001000??0?3
，则A的秩为 . 1??0?1的概率2（116、316）（12）在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
为 .
三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （117）（1）（本题满分11分）
求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0} 上的最大值和最小值.
（217）（2）（本题满分11分）
f(x)xcost?sint????1f(t)dt??tdt，设f(x)是区间?0,?上单调、可导的函数，且满足?00sint?cost4??其中f
?1是f的反函数，求f(x).
（218）（3）（本题满分11分）
设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域.
（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； （Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.
（219）（4）（本题满分10分）
求微分方程y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
（220）（5）（本题满分11分）
已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所确定，
dz设z?f?lny?sinx?，求
dx （317）（6）（本题满分10分）
d2zx?0,dx2x?0.
设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性.
2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（详细版）
