汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学） 联赛一试真题 编者：周钢
2013年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1. 设集合A??2,0,1,3?，集合B?x?x?A,2?x2?A.则集合B中所有元素的和为__________.
22. 在平面直角坐标系xOy中，点A,B在抛物线y?4x上，满足OA?OB??4，F是抛物线的焦点，
??则S?OFA?S?OFB?__________.
3. 在?ABC中，已知sinA?10sinBsinC，cosA?10cosBcosC，则tanA的值为__________. 4. 已知正三棱锥P?ABC底面边长为1，高为2，则其内切球半径为 .
5. 设a,b为实数，函数f?x??ax?b满足：对任意x??0,1?，有f?x??1.则ab的最大值为________. 6. 从1,2,?,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________. 7. 若实数x,y满足x?4y?2x?y，则x的取值范围是__________.
1,2,?,8?，均有8. 已知数列?an?共有9项，其中a1?a9?1，且对每个i??数列个数为__________.
ai?1?1???2,1,??，则这样的ai2??二、解答题
9. 给定正整数列?xn?满足Sn?2Sn?1,n?2,3,?，这里Sn?x1?x2???xn.证明：存在常数C?0，
n使得xn?C?2,n?1,2,?.
1
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学） 联赛一试真题 编者：周钢
x2y210. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，A1、A2分别为椭圆的左、右顶
ab点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q、R满足QA1?PA1，QA2?PA2，RF1?PF1，RF2?PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.
11. 求所有的正实数对?a,b?，使得函数f?x??ax?b满足：对任意实数x,y，有
2f?xy??f?x?y??f?x?f?y?.
2
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学） 联赛一试真题 编者：周钢
答案：
1、?5 代元素检验，?2、?3满足条件，故和为?5；
22?y12??y2?y12y22、2 记A??4,y1??，B??4,y2??，故16?y1y2?4?0，y1y2??8，
????F?1,0?，S?OFA?S?OFB?OFy12?OFy22?y1y24?2；
3、11 cosA??cos?B?C???cosBcosC?sinBsinC?? tanA?cosAsinA，所以sinA?11cosA， ?1010sinA?11； cosA4、
21 V?Sr，其中r为内切球半径，S为表面积，根据数据可算出， 6313631?2? V??，S??3??1?341242???3?23??，故r?； 2??3?6?62??22?12?b?1225、 一次函数区间端点取最值，故?，由于a?b?1?a?b?2ab?1，
4??a?b?1 且a?b?2ab，故4ab?1?ab?6、
2211，取“=”时，a?b?； 4223255 20个数选5个共有C20种情况，5个数全不相邻共有C16种情况（插空法），故至少有两个 3235C16232相邻的概率为1?5?；
C203237、?0???4,20? 由题意x?y?0，令m?2x?y?0，n?y?0，故x?m2?n2，等式可化为
222 m?n?4n?2m，即?m?1???n?2??5，故m,n为圆上的点，且m?0，n?0，再
根据几何意义，x为满足等式的点?m,n?到坐标原点的距离的平方，算出x??0???4,20?；
8、491 由于
aaaa2a31?1?????9?9?1，且i?1??2,1,??，故每一个比值在选取数值时，选?的 a1a2a8a1ai2?2?比值个数为偶数，结合8个比值成绩为1，可知选?3类：①全选1，1种选法；②2个?③4个?
3
1的个数与选2的个数必相同，故整体分为 2122，2个2，4个1，C8?C6?420种； 214，4个2，C8?70种；综上，共有1?420?70?491种选法，故由491个数列； 2
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