内切球和外接球问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.
解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是23所以球的半径为3.故该球的体积为43?.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14?.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?
解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同
9一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为３，则这个球的体积为 .
6x?3,1????x?,2?932??xh,???6?4?h?3．解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有?8
r?31d?2.∴外接球的半径2，球心到底面的距离
∴正六棱柱的底面圆的半径
R?r2?d2?1.
?V球?4?3.
222R?r?d小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，
再设出球们更想使快联想到所以可构
造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD?3，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，故所求表面积是9?.(如图1)
例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R，则有
?2R??2??????32?32?32?9.∴
R2?94.
2故其外接球的表面积S?4?R?9?.
小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂且其长度分别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的
222球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R?a?b?c.
直，一个外接
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为
，则体对角线长为
，几何体的外接球直径为
【例题】：在四面体
体对角线长 即
，若
中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为
该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为即：
球的表面积为
所以
的长
例 6 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则
A此球的表面积为（ ）
A. 3? B. 4? C. 33? D. 6?
解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A?BDE满足条件，即
AB=AD=AE=BD=DE?BE?2，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)
例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，?DAB=60，E为AB的中点，将?ADE与?BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）.
43666????272824A. B. C. D.
0解析：（如图3） 因为AE=EB=DC=1，?DAB=?CBE=?DEA=60，所以
AD?AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6就完全
0相同了，故选C.
DCP例8 （2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA?平面ABC，AB?BC，
DA=AB=BC=3，则球O的体积等于 .
AB解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快
EDC便可找到球的直径，由于DA?平面ABC，AB?BC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为DA=AB=BC=3，则正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角
ABE图3
D此长方体为
O三角形解出
C图9?CD=3.故球O的体积等于2.（如图4）
2、构造长方体
BC?DC，例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB?平面BCD，
若AB?6,AC=213,AD=8，则球的体积是 .
OB=OC=4解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，
为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出?BOC即可，在Rt?ABC中，求出BC=4，
A所以?BOC=60，故B、C两点间的球面距离5）
B0O4?3是.（如图
C本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的D问题。
三.多面体几何性质法
例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是
A.16? B.20? C.24? D.32?
2解 设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有4x?16，解得x?2.
2222R?2?2?4?26, ?R?6.∴这个球的表面积是4?R2?24?.选C. ∴
小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例4 正四棱锥S?ABCD的底面边长和各侧棱长都
S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为
ADSCO1B为2，点 .
O，如图1所示.
图3解 设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心为∴由球的截面的性质，可得OO1?平面ABCD.
又SO1?平面ABCD，∴球心O必在SO1所在的直线上.
高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习
