88.设函数f(x)、g(x)在[a,b]上连续，且满足?
xaf(t)dt??g(t)dt，x?[a,b]，ax?
baf(t)dt??g(t)dt，求证：?xf(x)dx??xg(x)dx
aaa2bbb89.设函数f(x)二阶可导且f(x)?0，对任意的x，有f(x)f??(x)?[f?(x)]?0，求证：（1）对?x1,x2，有f(x1)f(x2)?f?
2?x1?x2?
?
?2?
f?(0)x（2）若f(0)?1，求证：对?x?R，都有f(x)?e
90.设n为自然数，f(x)?
?
x0(t?t2)sin2ntdt，求证：f(x)在[0,??)可取得最大值，且x?[0,??)maxf(x)?
1
(2n?2)(2n?3)91.设?a
n?1?n与?b
n?1?n为正项级数，求证：??1
（1）若anbn?an?1bn?1,n?1,2,...,n，则级数?发散时，?bn发散；an?1n?1n??bn1
（2）若对某个正常数a，有an?an?1?a,n?1,2,...，则级数?收敛时，?bn收bn?1n?1n?1an敛。92.设f(x)?
x?1?
xsin(et)dt，求证：exf(x)?2
93.设F(x)?
x4e
x3??
02xx?u0e
u3?v3dudv，求limF(x)或者证明它不存在x???94.设L为曲线x?y?R（常数R?0）一周，n为L的外法线向量，u(x,y)具有二阶22?2u?2u?u22连续偏导数且2?2?x?y。求?ds
?n?x?yL1195.设二次函数y??(x)（其中x项的系数为1）的图形与x轴的交点为?
2?1?
,0?及(B,0)，?2?
其中B?lim??x?011??dxsint2I(?,?)?[?(x)?(?x??)]dx取得2edt?，求使二元函数???00dxx??
最小的实数?、?的值96.设an?
1??tan，其中且，求liman??k????0?kkn??22k?12n97.计算?
??0arctan?x?arctanx
dx
x1
1??y
98.设?(?)?,f(y)????x2?(?)d?，其中?,x为任意实数，y为正22???(??x)?y
实数，求f(x)的初等函数表达式99.设函数f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数，f(0)?f?(0)?0，f(1)?f?(1)?1，求证：?11n?2k?1??1
limn???0f(x)dx?n?f?2n????24n?????k?1?
2100.计算?
??0x3x5x7x2x4x6(x???????)(1?2?22?222????)dx
22?42?4?622?42?4?6101.计算?
??0sin(x2)dx（提示：?e?xdx?
0??2?）2n24n?3
n102.求证：对于任意的自然数n，有nn??k?
36k?11n??2n??n??
103.求极限lim????k??2?k???，其中?x?表示不超过x的整数部分n??n????k?1??
12104.计算?
a0x3xdxa?x105.设函数F(x)?f(x)g(x)，其中f(x)与g(x)满足：f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，f(0)?0，f(x)?g(x)?2ex，求F(x)
????f(ax)?f(bx)f(x)b
dx存在，求证：?dx?f(0)ln
0xxa
106.已知?
a107.计算1??
xlnx??e?33?4x??
3?1??x???x?2dx
?
108.设x?0，设函数f(x)?lim?1?
t????
xx?
?,g(x)??0f(t)dtt?
xt（1）求函数g(x)在x?0部分的水平渐近线（2）求函数g(x)与其水平渐近线及y轴在x?0部分所围成的图形的面积A
109.求平面曲线C，使得C上两点(0,1),(x,y)之间的弧长为y2?1
110.设函数f(x)在[0,2?]上具有一阶连续导数，且f?(x)?0，求证：对任意正整数n，有?
2?0f(x)sinnxdx?
2f(2?)?f(0)
n111.设函数f(x)连续，f?(0)存在，并且对于?x,y?R，有f(x?y)?
（1）求证：f(x)在R上可微（2）若f?(0)?
f(x)?f(y)1?4f(x)f(y)1
，求f(x)213x1?x112.求曲线y?(x?0)的非铅直渐近线(1?x)x113.设函数f(x)在[?1,1]上连续，计算lim?h?0hf(x)
??1h2?x2dx
1114.设f(x)是二次可微的函数，满足f(0)?1,f?(0)?0，且对?x?0，有f??(x)?6f?(x)?5f(x)?0，求证：对?x?0，都有f(x)?3e2x?2e3x221??5?1?
115.已知抛物线y?ax?bx?c在点M(1,2)处曲率圆的方程为?x????y???，2??2?2?
2求常数a,b,c
116.计算?
??0xe?xdx
(1?e?x)21212117.设函数f(x)在[0,]上二阶可导，且f(0)?f?(0)，f()?0，求证：至少存在一点13f?(?)??(0,)，使得f??(?)?
21?2??lnf(x)dx?1f(x)dx118.设正值函数f(x)在区间[0,1]上连续，求证：e0?
01119.设y?y(x)由方程x?y?3xy确定，求33?
y(1?xy)
dx
y2?x
120.设函数g(x)在R内具有非负二阶导数，求证：对于?[0,
?]上连续函数f(x)，有：2????
F??2f(x)sinxdx???2F[f(x)]sinxdx00??
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专升本必做120道基础习题 - 图文
