第十六章 二次根式
思维导图
【二次根式】 (1)二次根式的概念
一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.其中“ ”称为二次根号,“a”称为被开方数.
(2)二次根式概念的理解
①“2 ”中一般把根指数2省略,写作“ ”,但不要误认为根指数是1或没有. ②二次根式a中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等。
③a≥0是a为二次根式的前提条件,如2，9，a2+b2，x-y (x>y)是二次根式， 而-2，-(x+1) (负数没有算术平方根)不是二次根式。
④形如ba (a≥0)的式子都是二次根式，如56是二次根式.
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【二次根式有意义的条件】
(1)对于二次根式a来说,被开方数a必须是一个非负数,即a≥0,当a是一个代数式时，可根据二次根式的概念来确定a中字母的取值范围，如2-x是一个二次根式，则2-x≥0，∴x≤2. (2)①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是使各个二次根式中的被开 方数都必须为非负数。例如:要使x-1 +3-x有意义,则x-1≥0且3-x≥0, ∴1≤x≤3
②如果所给的式子中含有分母,那么式子有意义的条件是除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不能为零。
典例1 (中考)二次根式x-3中,x的取值范围为 。
解析: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.则x-3≥0,解得x≥3 答案: x≥3
2x-1
典例2 (中考)使代数式3-x有意义的x的取值范围是 。
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解析: 若要使代数式2x-1有意义,则x需要满足2x-1≥0且3-x≠0,解得x≥2且x≠3 1
答案: x≥2且x≠3 【二次根式的性质】
名称 数学描述 文字描述 举例说明 若a+b=0，则a=0，b=0； a(a≥0)的性质 a≥0 (a≥0) 非负数的算术平方根是非负数 若a+|b|=0，则a=0，b=0； 若a+b2=0，则a=0，b=0； (5)2=5， (a)2(a≥0)的性质 (a)2=a(a≥0) 非负数的算术平方根的平方等于它本身 一个数的算术平方根等于这个数的绝对值 2
(4)2=4， (m2+1)2=m2+1 a2的性质 ?a(a≥0)2a=│a│=? -a(a＜0)?(3-π)2=│3-π│=π-3
点拨：(a)2(a≥0)既可正向应用,也可逆向应用,如(5)2=5,反过来5=(5)2.在实数范围内分解因式或有关化简求值中应用此式较多,例如:分解因式a2-5=a2-(5)2=(a+5)(a-5)。 典例 (中考)若实数x,y满足|x-4|+y-8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为 。 解析：由绝对值和二次根式的非负性可得x-4=0，y-8=0，所以，x=4，y=8,以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为8+8+4=20. 答案：20
【a2与(a)2的区别与联系】
表达式 取值范围不同 区别 运算顺序不同 运算结果不同 联系 【代数式】
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连s
接起来的式子称为代数式。例如3，x，x+y，3x( x≥0)，-ab，(t≠0)，x3都是代数式。
t提醒
(1)单独一个数或字母也是代数式。
(2)代数式中不能含有“>”“≥”<”“≤”“≠”或“=”等符号.
典例 (中考)某校艺术班同学,每人都会弹钢琴或古筝,其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人,两种都会的有7人,设会弹古筝的有m人,则该班同学共有 人(用含m的 代数式表示)
解析: 会弹钢琴的人数是(m+10)人，由于两种都会的有7人，所以该班同学的人数是
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a2 a为全体实数 (a)2 a≥0 a2 先平方后开方 (a)2先开方后平方 ?a(a≥0)a2=│a│=? -a(a＜0)?(a)2=a(a≥0) a2与(a)2均为非负数，且当a≥0时，a2=(a)2
m+m+10-7=(2m+3)人 答案: 2m+3
【二次根式的乘法】 (1)二次根式的乘法法则
一般地，二次根式的乘法法则是a·b==ab (a≥0,b≥0) 二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变。
点拨 (1)在进行二次根式的乘法运算时,一定不能忽略其被开方数a,b均为非负数这一条件。 (2)当二次根式前面有系数时,可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数。 (2)二次根式的乘法法则的逆用 把a·b==反过来,就得到： ab=a·b (a≥0,b≥0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以对二次根式进行化简。 提醒
(1)公式中的条件是限制等号的右边,对左边只需ab≥0即可例如: (-2)×(-3)有意义，计算时不能写成(-2)×(-3)=-2×-3，而应为(-2)×(-3)=2×3=2×3
(2)用此公式进行二次根式的化简时，被开方数一定是乘积的形式，以免出现a2±b2=a2±b2的错误
【二次根式的除法】 (1)二次根式的除法法则
一般地,二次根式的除法法则是
a
= b
a
(a≥0,b>0) b
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二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变。
a
点拨 (1)a必须是非负数,b必须是正数,式子才成立若a,b都是负数虽然>0，
ba
但a，b在实数范围内无意义；若b=0,则无意义
b(2)如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如1
这样的错误。 4
1
4必须化成4
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，以免出现4
414
a
有意义， b
=4×(2)二次根式的除法法则的逆用 把
a = b
a
反过来，就得到：b
aa
=(a≥0,b>0) bb
商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。 点拨 (1)利用此公式时要注意公式成立的限制条件:a≥0，b>0。
(2)利用此公式可以进行二次根式的化简、计算，可以化去根号内的分母。 【最简二次根式】 (1)最简二次根式的概念 ①被开方数不含分母
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式,并且分母中不含二次根式。 (2)最简二次根式概念的理解
①被开方数中不含分母,也就是被开方数必须是整数或整式
②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2,即每个因数或因式的指数都是1。 典例 (中考)下列式子中,属于最简二次根式的是( )
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人教版八年级数学下册-第十六章 二次根式 知识清单
