2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)设f(x)?x2(x?1)(x?2),则f'(x)的零点个数为( )
?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
(2)曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数,则定积分?a0aft(x)dx( )
?A?曲边梯形ABCD面积.
?B?梯形ABCD面积. ?C?曲边三角形ACD面积.
?D?三角形ACD面积.
(3)在下列微分方程中,以y?Cx1e?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是(?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?B?y'''?y''?4y'?4y?0
?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
(5)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是( )
?A?若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调,则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛.
?D?若?f(xn)?单调,则?xn?收敛.
(6)设函数f连续,若F(u,v)?D??f(x2?y2)uvx2?y2dxdy,其中区域D?Fuv为图中阴影部分,则
?u? ?A?vf(u2) ?B?vf(u2u) ?C?vf(u) ?D?vuf(u)
(7)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则( )
?A?E?A不可逆,E?A不可逆.
?B?E?A不可逆,E?A可逆. ?C?E?A可逆,E?A可逆.
?D?E?A可逆,E?A不可逆.
)(8)设A???12??,则在实数域上与A合同的矩阵为( ) ?21?
?A????21??.
?1?2?
?B???2?1??.
??12??21??C???.
12??
?1?2? ?D???.
?21??1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 已知函数f(x)连续,且limx?0?1,则f(0)?____.
(10)微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
(11)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. (12)曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. (13)设z??232?x?z?y?,则??x?x?xy(1,2)?____.
(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48,则??___.
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)
sinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. x?0x4(16)(本题满分10分)
?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定,其中x(t)是初值问题?dt的解.求t2y??ln(1?u)du??xt?0?00???2y. 2?x (17)(本题满分9分)求积分 (18)(本题满分11分)
?1xarcsinx1?x20dx.
求二重积分
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D(19)(本题满分11分)
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)?1.对任意的t??0,???,直线
x?0,x?t,曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面
积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式. (20)(本题满分11分)
(1) 证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点??[a,b],使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a)
(2)若函数?(x)具有二阶导数,且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx,证明至少存在一点
23??(1,3),使得???(?)?0
(21)(本题满分11分)
求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值. (22)(本题满分12分)
22222?2a1?2a2a?设矩阵A???a2????,现矩阵A满足方程AX?B,其中X??x,11??2a?n?n,xn?,
TB??1,0,,0?,
n(1)求证A??n?1?a;
(2)a为何值,方程组有唯一解,并求x1; (3)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解. (23)(本题满分10分)
设A为3阶矩阵,?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量,向量?3满足A?3??2??3, (1)证明?1,?2,?3线性无关; (2)令P???1,?2,?3?,求PAP.
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考研数学二真题及参考答案
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