高等数学第3版(张卓奎 王金金)第十一章习题解答

第十一章 微分方程

习题1．说出下列各微分方程的阶数：

d2QdQQdy?dy???0； （1）???x?y?0； （2）L2?RdtdtCdx?dx?211－1

（3）xy????2y???x2y?0 ； （4）(x?y)dy?(7x?6y)dx?0；

d????sin2?. d?解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．

2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （5）y???2y??y?sinx ； （6）（1）xy??2y , y?5x2;

（2）y???y?0 , y?3sinx?4cosx;

1（3）y???x2?y2 , y?;

xd2y1（4）2?y?ex , y?C1sinx?C2cosx?ex.

dx2解：（1）∵ y??10x ，代入方程得 x?10x?2?5x2

∴y?5x2是方程的解．

（2）∵ y??3cosx?4sinx,y????3sinx?4cosx，代入方程，得

y???y???3sinx?4cosx???3sinx?4cosx??0 ∴ y?3sinx?4cosx是方程的解．

（3）∵ y???∴y?12212??,y??x?，代入方程，得 2332xxxx1是方程的解． xdy1xd2y1?C1cosx?C2sinx?e,2??C1sinx?C2cosx?ex，（4）∵ 代入方程， dx2dx21??1??得 ??C1sinx?C2cosx?ex???C1sinx?C2cosx?ex??ex

2??2??

1

1∴y?C1sinx?C2cosx?ex是方程的解．

23．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）?x?2y?y??2x?y , x2?xy?y2?C; （2）?xy?x?y???xy?2?yy??2y??0 , y?ln(xy).

解：（1）在二元方程 x2?xy?y2?C的两边同时对x求导，得

2x?y?xy??2yy??0

移项后即得 ?x?2y?y??2x?y

故二元方程x2?xy?y2?C所确定的函数是所给微分方程的解．

（2）在 y?ln(xy)两边对x求导，得 y??y??xy?x??y?y?xy??1?11y?y(y?xy?)??， 即 y?? xyxyxy?x y????xy?x?2??xy??y2?y?xy?x?y22??xy3?2xy2?2xy?xy?x?3，

代入微分方程，得

(xy?x)??xy3?2xy2?2xy?xy?x?3?x??xy?x?2?y?yy?2??0 xy?xxy?x故 y?ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解．

4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）x2?xy?y2?C2 , y|x?0?1;

（2）y??C1?C2x?ex , y|x?0?0 , y?|x?0?1; （3）x?C1cos?t?C2sin?t , x|t?0?1 , x?|t?0??. 解：（1）∵ y|x?0?1

∴C2 =02?0?12?1

即 x2?xy?y2?1

?C?0（2）y???C1?C2x?C2?ex ，由 y|x?0?0 , y?|x?0?1，得 ?1

?C1?C2?1

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