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（面面平行→线线平行）
（3）如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 ?//?且l???l??
空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为0?。
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a?,b?，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
???
④范围：?0,?
?2?
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为0?。 ②平面的垂线与平面所成的角：规定为90?。 ③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线， 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
???
④范围：?0,?
?2?
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面．．．．．角的平面角。
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角
范围：?0,??
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空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
(2)线线垂直
定义: 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．该直线叫做平面的垂线，该平面叫做这条直线的垂面
?a??线面垂直的性质：??a?b;
?b??线面垂直的判定定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线 垂直于这个平面
?a?b?a?c??a??； ?b?c?O???b,c?? 注意点： 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
推论： 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
a∥b?
??b⊥α a⊥α?
线面垂直的性质定理
（1）垂直于同一个平面的两条直线平行
a?????a//b. b???（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
a//b? ??b??
a???
三垂线定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直
三垂线定理的逆定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也
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和这条斜线的射影垂直 （3）面面垂直
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
?l l??? ?????l????
面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
?????I??b????a??.
a????a?b?
·直线与方程
（1）直线的倾斜角：对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角 直线的倾斜角取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当??0?,90??时，k?0； 当???90?,180??时，k?0； 当??90?时，k不存在。
y?y1②过两点的直线的斜率公式：k?2(x1?x2)
x2?x1（3）直线方程
①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?
②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：
y?y1x?x1?（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2? y2?y1x2?x1?④截矩式：?y?1其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截b距分别为a,b。
xa⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0） （4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系
平行于已知直线A0x?B0y?C0?0（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：A0x?B0y?C?0（C为常数） （二）过定点的直线系
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（ⅰ）斜率为k的直线系：y?y0?k?x?x0?，直线过定点?x0,y0?；
（ⅱ）过两条直线l1:A1x?B1y?C1?0，l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为 ，其中直线l2不在直线系中。 ?A1x?B1y?C1????A2x?B2y?C2??0（?为参数）
（5）两直线平行与垂直
当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，
l1//l2?k1?k2,b1?b2；l1?l2?k1k2??1
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （6）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点， Bx2,y2）则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2
（7）点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA2?B2
（8）两条平行线间的距离公式：两条平行线l1:Ax?By?C1?0与l1:Ax?By?C2?0间的距离d?C1?C2
A2?B2
·圆的方程
1.定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。定点就是圆心，定长就是半径 2.圆的方程
22（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心?a,b?，半径为r； （2）一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0
1DE?，半径为当D2?E2?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为?r???,???22?DE?，当D2?E2?4F?0时，表示一个点?； ??,???22?2D2?E2?4F
当D2?E2?4F?0时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
·点、线、圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为
d?Aa?Bb?CA?B22，则有d?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交
（2）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为?，则有
??0?l与C相离；??0?l与C相切；??0?l与C相交
(3)过圆上一点的切线方程：
①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0?yy0?r2 (课本命题)．
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②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广)．
圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
2222设圆C1:?x?a1???y?b1??r2，C2:?x?a2???y?b2??R2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当d?R?r时两圆外离，此时有公切线四条；
当d?R?r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当R?r?d?R?r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当d?R?r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当d?R?r时，两圆内含； 当d?0时，为同心圆。
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最新高中数学必修2知识点总结归纳 整理复习课程
