正交变换的性质及其应用
庄钊栋
【摘 要】摘要：本文首先介绍有关正交变换的基本概念，从正交变换的定义出发，讨论正交变换在代数中的一些性质及其证明；其次，给出正交变换在几何中的一些性质及其证明；再次，讨论代数中的正交变换与几何中的正交变换的区别与联系；然后，进一步讨论正交变换在多重积分中的应用，在曲面方程中的应用，在条件极值中的应用；最后，讨论旋转变换在多元函数积分中的应用。 【期刊名称】《学周刊A版》 【年(卷),期】2017(000)001 【总页数】3
【关键词】正交变换；等距变换；平移；旋转；反射 【
文
献
来
源
】
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weekly_thesis/0201277218937.html
一、引言
解析几何与高等代数是数学专业的两门基础课，它们分属几何与代数两大学科，各有独立的教学体系，彼此之间又有着密切的联系。最初，变换主要用来讨论图形之间转变的问题，以后由于变换的应用越来越多，由此产生了线性变换，而正交变换是其中的一种。正交变换已经用来研究代数和几何中的很多问题，由于应用的不同，将正交变换又分为平移变换、旋转变换、反射变换、滑移反射变换等。如今，正交变换本身及其在数学、物理学、计算机科学系、光学等领域中的应用越来越受到人们的重视。本文在前人研究的基础之上，试图研究正交变换的一些性质及其应用，将其反映到几何与代数上，通过代数与几何中
共同的知识解决数学中的一些其他问题。
二、预备知识
定义1.1正交变换在代数中的定义：欧氏空间V的一个线性变换σ称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的α，β∈V,都有（σ（α），σ（β））=（α，β）。
设η1，η2，…，ηn，是欧氏空间V的一组标准正交基，在正交变换σ下，σ（η1），σ（η2），…，σ（ηn）也是V的一组标准正交A=（aij）为正交矩阵，则有限维向量空间V的正交变换σ可表示为σ∶α→Aα，即σ（a）＝Aα，其中A为正交矩阵。
定义1.2正交变换在几何中的定义：如果欧氏空间的点变换，把任意线段的两个端点变成等长线段的两个端点，则称其为正交变换（亦称全等变换，又称等距变换），平移、旋转、反射、滑移反射等是正交变换的几种特殊形式。 在标准正交基下，把点p（x1，x2，…，xn）变成点p′（x1′，x2′，…，xn′）的正交变换τ的公式表示是 其中A=（aij）为正交矩阵。
定义1.3取定平面π上向量把平面π上的每一点P沿向量方向平移到p′，使这样得到的变换叫做平面π的一个平移变换，简称平移，记为
定义1.4把平面π上的每一点p绕一定点O旋转一定角θ变到另一点p′，这样得到的变换叫做π的旋转变换，简称旋转记为r(O,θ)。定点O叫做旋转心，定角θ叫做旋转角。
定义1.5取定平面π上的一条直线l。把任意一点p映到它关于直线l的对称点p′，这样得到的π的变换称为平面π对于直线l的轴反射变换，简称反射，记
为sl，称l为反射轴。
三、正交变换在代数中的性质及其证明
性质2.1设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面四个命题是等价的： （1）σ是正交变换；
（2）σ保持向量的长度不变，即对于α∈V，｜σ（α）｜=｜α｜；
（3）如果ε1，ε2，…εn是标准正交基，那么σ（ε1），σ（ε2），…σ（εn）也是标准正交基；
（4）σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。 证明：首先证明（1）与（2）等价，
如果σ是正交变换，那么（σ（α），σ（α））=（α，α）两边开方即得｜σ（α）｜=｜α｜。反过来，如果σ保持向量的长度不变，那么，（σ（α），σ（α））=（α，α），（σ（β），σ（β））=（β，β），（σ（α+β），σ（α+ β））=（α+β，α+β）把最后的等式展开即得（σ（α），σ（α））+2（σ（α），σ（β））+（σ（β），σ（β））=（α，α）+2（α，β）+（β，β）再利用前面的两个等式，就有（σ（α），σ（β））=（α，β），也就是说σ是正交变换。
再来证（1）与（3）等价，设ε1，ε2，…εn是一组标准正交基，即j=1,2,…，n）。如果σ是正交变换，那么（i，j=1,2,…，n）。这就是说σ（ε1），σ（ε2）…σ（εn）是标准正交基。反过来，如果σ（ε1），σ（ε2）…σ（εn）是标准正交基，那么由α=x1ε1+x2ε2+…xnεn，β=y1ε1+y2ε2+…ynεn，与σ（α）=x1σ（ε1）+x2σ（ε2）+…xnσ（εn），σ（β）=y1σ（ε1）+y2σ（ε2）+…ynσ（εn），即得（α，β）=x1y1+x2y2+…xnyn=（σ（α），σ（β）），因此σ是正交变换。
正交变换的性质及其应用
