第一章 1.1 1.1.1 变化率问题
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x＋4上两点A、B，xA＝1，xB＝1．3，则直线AB的斜率为( B ) A．2 C．2．09
[解析] f(1)＝5，f(1．3)＝5．69． ∴kAB＝
B．2．3 D．2．1
2
f1.3－f1
1.3－1
2
5.69－5＝＝2．3，故应选B．
0.3
2．已知函数f(x)＝－x＋x，则f(x)从－1到－0．9的平均变化率为( D ) A．3 C．2．09
2
B．0．29 D．2．9
[解析] f(－1)＝－(－1)＋(－1)＝－2．
f(－0．9)＝－(－0．9)2＋(－0．9)＝－1．71．
∴平均变化率为
f－0.9－f－1
－0.9－－1－1.71－－2＝＝2．9，故应选D．
0.1
2
3．一运动物体的运动路程S(x)与时间x的函数关系为S(x)＝－x＋2x，则S(x)从2到2＋Δx的平均速度为( B )
A．2－Δx C．2＋Δx
[解析] ∵S(2)＝－2＋2×2＝0， ∴S(2＋Δx)＝－(2＋Δx)＋2(2＋Δx) ＝－2Δx－(Δx)， ∴
2
2
2
B．－2－Δx D．(Δx)－2·Δx
2
S2＋Δx－S2
＝－2－Δx，故应选B．
2＋Δx－2
2
4．已知函数f(x)＝2x－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则( B )
A．4
C．4＋2(Δx)
2
Δy＝ΔxB．4＋2Δx D．4x
Δy22
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－1－2＋1＝2·(Δx)＋4·Δx，所以＝2ΔxΔx1 / 4
＋4．
二、填空题
Δy32
5．已知函数y＝x－2，当x＝2时，＝(Δx)＋6Δx＋12．
ΔxΔy[解析] ＝
Δx＝
Δx2
3
2＋Δx2
3
－2－2－2
Δx3
＋6ΔxΔx＋12Δx ＝(Δx)＋6Δx＋12．
6．(2018·阿拉善左旗校级期末)若函数y＝x－1的图象上的点A(1,0)，则当Δx＝0．1时的平均变化率是2．1．A点处的导数是2．
[解析] Δy＝(1＋Δx)－1＋1＝2Δx＋Δx， ∴
2
22
Δy＝2＋Δx， Δx当Δx＝0．1时，平均变化率为2．1， ∵y′＝2x， ∴y′|x＝1＝2， 故答案为2．1,2． 三、解答题
7．已知某质点的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)存在函数关系s＝2t＋2t，求： (1)该质点在前3s内的平均速度； (2)该质点在2s到3s内的平均速度．
[解析] (1)∵Δs＝s(3)－s(0)＝24，Δt＝3， ∴
2
Δs24
＝＝8(m/s)． Δt3
(2)∵Δs＝s(3)－s(2)＝12，Δt＝1， ∴
Δs12
＝＝12(m/s)． Δt1
B级 素养提升
一、选择题
123
1．在x＝1附近，取Δx＝0．3，在四个函数①y＝x、②y＝x、③y＝x、④y＝中，平均变化x率最大的是( B )
A．④
B．③
2 / 4
C．② D．①
2
[解析] Δx＝0．3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2．3；③y＝x在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)＝3．99；④y＝1
3
2
x在x＝1附近的平均变化率k4＝－
110
＝－．∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B． 1＋Δx13
2．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为( C )
A．v2＝v3 [解析] ∵v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC， 由图象易知kOA 3．(2018·汉台区期末)函数f(x)＝x＋2x＋3在自变量x从1变化到3的过程中的平均变化率是6． [解析] Δx＝3－1＝2， 2 B．v1 Δy＝32＋6＋3－(12＋2＋3)＝12． 12 所以函数的平均变化率为＝6． 2故答案为6． 21 4．过曲线f(x)＝2的图象上两点A(1,2)，B(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线AB，当Δx＝时割 x472 线的斜率为－． 25 [解析] 割线AB的斜率k＝ 21＋ΔxΔx2＋Δy－2Δy＝ 1＋Δx－1Δx2 ＝ －2 －2Δx＋272＝． 2＝－ 1＋Δx25 三、解答题 5．比较y＝x与y＝x在x＝2附近平均变化率的大小． 2＋Δx－2 [解析] 当自变量x从x＝2变化到x＝2＋Δx时，y＝x的平均变化率k1＝＝ Δx3 3 3 3 2 (Δx)＋6Δx＋12， 2 3 / 4
2018-2019学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题习题新人教A版选修2
