高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练
1（1）(2024全国卷III) 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为??x?cos?，（?为参数），
y?sin??过点0，?2且倾斜角为?的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求?的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
1（2）(2024全国卷II)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为????x?2cosθ，（θ为参
y?4sinθ??x?1?tcosα，数），直线l的参数方程为?（t为参数）．
y?2?tsinα?（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
1（3）(2024全国卷I)在直角坐标系
中,曲线的方程为,以坐标原点为
极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
（1）求（2）若
的直角坐标方程 与
有且仅有三个公共点,求
的极坐标方程为
的方程
1（1）(2024全国卷III) 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为??x?cos?，（?为参数），
?y?sin?过点0，?2且倾斜角为?的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求?的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
??
解：（1）eO的参数方程为??x?cos?22，∴eO的普通方程为x?y?1，当??90?时，
?y?sin?直线：l:x?0与eO有两个交点，当??90?时，设直线l的方程为y?xtan??2，由直线l与eO有两个交点有|0?0?2|1?tan2??1，得tan2??1，∴tan??1或tan???1，∴
45????90?或90????135?，综上??(45?,135?).
（2）点P坐标为(x,y)，当??90?时，点P坐标为(0,0)，当??90?时，设直线
22??x?y?1①22∴?有x?(kx?2)?1，l的方程为y?kx?2，A(x1,y1),B(x2,y2)，??y?kx?2②22整理得(1?k)x?22kx?1?0，∴x1?x2?22k?22y?y?，，∴ 12221?k1?k?2kx?③?2x?1?k22k??得代入④得x?y?2y?0.当点P(0,0)时满足方程?y?y??2④?1?k2?x2?y2?2y?0，∴AB中点的P的轨迹方程是x2?y2?2y?0，即
x2?(y?22222122,?)，则??y?0，故)?，由图可知，A(,?)，B(?2222222?2x?cos???2点P的参数方程为?（?为参数，0????）.
?y??2?2sin???22
1（2）(2024全国卷II)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?2cosθ，（θ为参数），
y?4sinθ??x?1?tcosα，直线l的参数方程为?（t为参数）．
?y?2?tsinα（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
x2y2解：（1）曲线C的直角坐标方程为??1．
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?，
当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则
t1?t2?0．又由①得t1?t2??4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线
1?3cos2?l的斜率k?tan???2．
1（3）(2024全国卷I)在直角坐标系
中,曲线的方程为,以坐标原点为极
点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线（1）求
的直角坐标方程
的极坐标方程为
（2）若与
有且仅有三个公共点,求的方程
1.则所以
的直角坐标方程为
,半径,即
,
2.由题可知圆心坐标为又曲线方程
,关于轴对称,且曲线过圆外定点
∴当曲线与圆有且仅有个交点时,设曲线在轴的右半部分与圆相切于点此时,
则,
,即直线的方程为
1（3）(2017全国卷3) [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
?x???t,在直角坐标系xOy中，直线l?的参数方程为?（t为参数），直线l?的参数方程
y?kt,??x????m,?为?（m为参数），设l?与l?的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． my?,?k?（1）写出C的普通方程：
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，（2）以坐标原点为极点，设l?:?(cos??sin?)????，M为l?与C的交点，求M的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
l1:y?k?x?2? ……①
1?x?2? ……② k①?②消k可得：x2?y2?4 l2:y?22即P的轨迹方程为x?y?4；
⑵将参数方程转化为一般方程
l3:x?y?2?0 ……③
??x?y?2?0 联立曲线C和l3?22x?y?4??
?32?x??2 解得?2?y????2?x??cos?由?解得??5
y??sin??即M的极半径是5．
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