时间段 授课内容 ―? 证比例式与乘积式的方法 二 辅助线作法 三 例题讲解 四
小结与练习 相似三角形相关证明强化
一＞相似.全等的关系
全等和相似是平面几M中研究直线形性质的两个重婆方面，金等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则 是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论乂 是以全等形的有关定理为基础. 二、 相似三角形
（1）三角形相似的条件：
①；②；③. 三、 两个三角形相似的六种图形：
斜边上的高
只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决.
四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：
1） 先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单; 2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； a）已知一对等「找另一角两角湘亚相等，两三角形相似 ^
1找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
r找夹角相等降进対应成比例且夹角相等，两三角形相似
b）己知两边对应成昭 找第三边也对应成比例三硼应成比例，两三角形相似
找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似
J找另一角两猗对应相等，两三角形相似
C）己知一个宜
1找两边对应成比例判定定理1或判定圧理4
「找顶角对应相等判定走理1
d）有等峻关｛找底角对应相等判定走理1
、找底和腰对应成比例判定建理3
C）相似形的传递性若N\\S \则、\\S ,
七、证比例式和等积式的方法：
对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过漩法、血积法等.若比例式 或等积式所涉及的线段在同一肓线上时，应将线段比“转移”（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似 三角形來证明.
可用口诀：遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截； 平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园幕.
例1如图5在2BC中，AD. BE分别是BC、AC边上的高，DF丄AB于F,交AC的延长线于交BE 于G,求证：⑴FG/FA = FB/FH （2）FD是FG与的比例中项.
1说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似?找相似三角形用三点定形法（在比例式屮， 或横着找三点，或竖着找三点），若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或总接找 等比代换
例2 如图6, nABCD中，E是BC上的一点，AE交BD于点F,已知BE： EC=3： 1, SWE=18,求：（1）BF：
FD （2）S“》
A
2说明：线段BF、FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比 定理”
得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的 平方，求出三角形的而积.
例3如图7在厶4肚 中，AD是BC边上的中线，M是4D的中点，CM的延长线交AB于M求：AN： AB的值;
E -：：?
\\.N
3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡.当 已知条
件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.
例4如图8在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交4C于F,过F作交AE于G.求 证：AG2=AFXFC
「
4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定耍 证明的两个三角形相似.、
例5如图在中,D是BC边的中点，且AD=AC, DELBC,交AB于点E, EC交AD于点F. (1) 求证：MBCsNFCI)； (2)若 S“CD=5, BC=10,求 DE 的长.
说明：要证明两个三介形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三介形相似.再由相似 三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.
例6如图10过MBC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM//
FC 交 AB J■点 M. (1)右° SUM： Spy 边形 MDEF=2： 3,求 AE： ED；
(2)求证：AExFB=2AFxED
说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的而积比等于相似比的平方及比例的基本性质 得到两线段的比.注意平截比定理的应用.
例7
己知如图11在正方形的边长为1, P是CD边的屮点，Q在线段BC上，当?2为何
值时，厶4DF与△QCPftH以？
说明：两个三角形相似，必须注意:其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.木题是开放性 题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.
例 8 己知如图 12 在梯形 ABCD 中，AD//BC, ZA = 90°, AB=, AD = 2f BC=3.试在边 AB Al确 定点P的位置，使得以P、A、D为顶点的三角形与以户、B、C为顶点的三角形和似.
说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题有多个位 置，应注意计算，严防漏解.
例9?如图，已知AABC中，AB=AC, AD是BC边上的中线，CF〃BA, BF交AD于P点，交AC 于E点。
求证：BP2=PE ?PF。
分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为
AB=AC, D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线,如果我们连结PC, ill线段垂
直平分线的性质知PB二PC,只需证OJIAPEC^APCF,问题就能解决了。
例12.如图，己知：在AABC小，ZBAC二900, AD丄BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于
F。
求证：比胛
C
分析：比例式左边AB, AC在AABC中，右边DF、AF在AADF中，这两个三角形不相似，因此本题需 经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。
八、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法主要冇三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证， 得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”；第
三,从“己知”及“求证”两方面入手，通过分析找到屮间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。
九、相似三角形中的辅助线
在添加辅助线吋，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线冇以 下几种：
一、作平行线
例1.如图，\\ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE, DE延长线与BC延长线和交于
例2.如图，AABC屮，AB AB ? DF=AC ? EFo
118相似三角形证明技巧.docx
