第 11 章（之1）（总第59次）
教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题：
**（1）. 函数f(x,y)?ln(x?y?1)连续区域是 ??????? ． 答：x?y?1
2222xy??**（2）. 函数f(x,y)??x2?y2?0?x2?y2?0x2?y2?0 ， 则（ ）
(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续
(C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A）
**2. 画出下列二元函数的定义域： （1）u?x?y；
解：定义域为：(x,y)?y?x，见图示阴影部分：
?
（2）f(x,y)?ln(1?xy)；
解：(x,y)xy??1，第二象限双曲线xy??1的上方，第四象限双曲线xy??1的下方（不包括边界，双曲线xy??1用虚线表示）．
??（3）z?x?y． x?y解：
x?y?x?y??x?y??x?y??0． ?0????x?y?0x??yx?y?? 46
***3. 求出满足f?x?y,??y?22??x?y的函数f?x,y?. x?s?x??s?x?y?1?t?解：令?， ∴? ystt???y?x?1?t?
x2?1?y?s2?s2t2s2?1?t?∴f?s,t??， 即 f?x,y??． ?21?y1?t?1?t? ***4. 求极限：
?x,y???0,0?lim1?xy?1x?y22．
解：0?1?xy?1x?y22??1?xy?1??xyx?y22???12x?y22
221?xy?1x?y?????
x2?y2?0 （?x,y???0,0?） ?21?xy?1?? ∴
?x,y???0,0?lim1?xy?1x?y22?0．
x2? y2**5. 说明极限lim不存在．
?x,y???0,0?x2?y2解：我们证明?x,y?沿不同的路径趋于?0,0?时，极限不同．
x2?y2?y2?2??1， 首先，x?0时，极限为lim22x?0x?yy?x,y???0,0?x2?y2x2?2?1， 其次，y?0时，极限为lim22y?0x?x,y???0,0?x?yx2? y2故极限lim不存在．
?x,y???0,0?x2?y2
**6. 设f(x,y)?ysin2xxy?1?1，试问极限
(x,y)?(0,0)limf(x,y)是否存在？为什么？
解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在(0,0)点的任一去心邻域内函数
f(x,y)?
ysin2xxy?1?1并不总有定义的，x轴与y轴上的点处函数f(x,y)就没有定义．
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***7. 试讨论函数z?arctanx?y的连续性． 1?xy解：由于arctan不连续．
x?y是初等函数，所以除xy?1以外的点都连续，但在xy?1上的点处1?xy
**8. 试求函数f(x,y)?xy的间断点．
sin2?x?sin2?y解：显然当(x,y)?(m,n)m,n?Z时，f(x,y)没定义，故不连续． 又f(x,y)?xy是初等函数． 22sin?x?sin?y
所以除点(m,n)（其中m,n?Z）以外处处连续．
第 11 章（之2） （总第60次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.1]
**1.解下列各题： （1）函数f(x,y)?x2?y在(0,0)点处 （ ）
3（A）fx?(0,0)和fy?(0,0)都存在； （B）fx?(0,0)和fy?(0,0)都不存在； （C）fx?(0,0)存在，但fy?(0,0)不存在； （D）fx?(0,0)不存在，但fy?(0,0)存在． 答：（D）．
（2） 设z?x?(y?2)arcsin?zx，那么
?yy? （ ）
(!,2)(A) 0 ； 答：(D)．
(B) 1； (C)
?； 2 (D)
?． 4（3）设f?x,y??xy，则fx'(0,0)?______，fy'(0,0)?__________．
fx'(0,0)?0，同理 fy'(0,0)?0．
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解：由于f(x,0)?0，?
**2. 设z?x?2y?lnx2?y2?3exy， 求 zx,zy． 解：zx?1?
**3. 求函数z?arctan解：zx??
xyxy?3yez??2??3xexy． ， y2222x?yx?yy对各自变量的偏导数. xyx,z?． yx2?y2x2?y2?x2ln(x2?y2)**4. 设f(x,y)???0x2?y2?0x2?y2?0，求fx(0,0),fy(0,0)．
x2lnx20?0?0． ?0， fy(0,0)?lim解：fx(0,0)?limx?0y?0xy
?z?x2?xy?y2***5. 求曲线?在?1,1,1?点处切线与y轴的夹角．
x?1?解：由于曲线在平面x?1内，故由 zy?1,1????x?2y??1,1??1，
得切线与y轴的夹角为 arctan1??4．[也可求出切向量为?0,1,1?]
∴夹角=arccos
?0,1,1??0,1,0??arccos12?12122??． 24***6. 设函数?(x,y)在点(0,0)连续，已知函数f(x,y)?x?y?(x,y)在点(0,0)偏导数
fx?(0,0)存在，
（1）证明?(0,0)?0； （2）证明fy?(0,0)也一定存在．
解：（1）lim?x?0?x?(?x,0)f(?x,0)?f(0,0)?lim， ?x?0?x?x?x??(?x,0)??x??(?x,0)?lim
?x??0?x??0?x?x即 ?(0,0)???(0,0)， 故 ?(0,0)?0．
因为fx?(0,0)存在，所以 lim
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（2）由于?(x,y)在点(0,0)连续，且?(0,0)?0，所以?y?0时，?(0,?y)是无穷小量，
而
?y?y是有界量，所以lim?y?0?y?(0,?y)f(0,?y)?f(0,0)?lim?0，即fy?(0,0)?0． ?x?0?y?y第 11 章（之3） （总第61次）
教材内容：§11.2 偏导数 [§11.2.2 ~ 11.2.4]
**1. 求函数f?x,y,z??xchz?yshx的全微分，并求出其在点P??0,1,ln2?处的梯度向量．
解：df?x,y,z??d?xchz??d?yshx?
?chzdx?xshzdz?shxdy?ychxdx
??chz?ychx?dx?shxdy?xshzdz∴df?x,y,z??0,1,ln2??
1?1?dx， ?f?x,y,z??0,1,ln2???,0,0?． 4?4?**2.求函数z?arctanx?y的全微分： 1?xy解：dz?darctanx?y ?d(arctanx?arctany)1?xydxdy
?1?x21?y2
?d(arctanx)?d(arctany)? sec2(xy)**3. 设z?，求dz．
ln(xy?1)[ln(xy?1)]d[sec2(xy)]?sec2(xy)d[ln(xy?1)]解：dz? 2[ln(xy?1)]
1sec2(xy)2?[ln(xy?1)2sec(xy)tan(xy)(ydx?xdy)?(ydx?xdy)] 2xy?1[ln(xy?1)]?
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[2ln(xy?1)tan(xy)(xy?1)?1](ydx?xdy)．
(xy?1)cos2(xy)ln2(xy?1)
(完整版)华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案
