同济大学(高等数学)第四篇无穷级数

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第四篇 无穷级数

第七章 无穷级数

无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.

第1节 常数项级数的概念与性质

1.1常数项级数的概念

一般的，给定一个数列

u1,u2,u3,?,un,?

则由这数列构成的表达式

u1?u2?u3???un??

叫做（常数项）无穷级数? 简称（常数项）级数? 记为?un? 即

n?1??n?1?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

其中第n项un叫做级数的一般项?

作级数?un的前n项和

n?1?,.

sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

i?1?n称为级数?un的部分和? 当n依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列

n?1s1?u1，s2?u1?u2，s3?u1?u2?u3，…，

sn?u1?u2?...?un，…

根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义 如果级数?un的部分和数列{sn}有极限s? 即limsn?s? 则称无穷级数?unn?1??n??n?1收敛? 这时极限s叫做这级数的和? 并写成

s??un?u1?u2?u3? ??un? ??

n?1?如果{sn}没有极限? 则称无穷级数?un发散?

n?1???当级数?un收敛时? 其部分和sn是级数?un的和s的近似值? 它们之间的差值

n?1n?1rn?s?sn?un?1?un?2?L

叫做级数?un的余项?

n?1?例1 讨论等比级数（几何级数）?aqn(a?0)的敛散性?

n?0?解 如果q?1? 则部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna???? 1?q1?q1?q?aa?

当q?1时? 因为limsn?? 所以此时级数?aqn收敛? 其和为

1?q1?qn??n?0?当q?1时? 因为limsn??? 所以此时级数?aqn发散?

n??n?0,.

如果q?1? 则当q?1时? sn?na?? ? 因此级数?aqn发散?

n?0??当q??1时? 级数?aqn成为

n?0a?a?a?a???

因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零? 所以sn的极限不存在? 从而这时级数

n?0?aqn发散?

?n??a 综上所述? 如果q?1? 则级数?aq收敛? 其和为? 如果q?1? 则级数?aqn1?qn?0n?0发散?

例2 判别无穷级数解 由于

1ln(1?)的收敛性? ?nn?1?1un?ln(1?)?ln(n?1)?lnn?

n因此

sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)?(ln4?ln3)? ? ? ? ?(ln(n?1)?lnn)?ln(n?1),

而 limSn?? ，故该级数发散.

n??例3 判别无穷级数?解 因为

1的收敛性? n?1n(n?1)?un?所以

1?1?1, n(n?1)nn?1sn?1?1?1? ? ? ? ?1

1?22?33?4n(n?1) ?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?从而

12112311)?1?1? nn?1n?1,.

limsn?lim(1?1)?1?

n?1n??n??所以这级数收敛? 它的和是1?

1.2 收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.

性质1如果级数?un收敛于和s? 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数?kun也

n?1n?1??收敛? 且其和为ks?

证明 设?un与?kun的部分和分别为sn与?n? 则

n?1n?1??n???lim?n?lim(ku1?ku2? ? ? ? kun)?klim(u1?u2? ? ? ? un)?klimsn?ks,

n??n??n??这表明级数?kun收敛? 且和为ks?

n?1??? 性质2 如果级数?un、?vn分别收敛于和s、?? 则级数?(un?vn)也收敛? 且其和

n?1n?1n?1为s???

证明 如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分别为sn、?n、?n， 则

n?1n?1n?1???n??lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)? ? ? ? ?(un?vn)]

n??n?? ?lim[(u1?u2? ? ? ? ?un)?(v1?v2? ? ? ? ?vn)]

?lim(sn??n)?s???

n?? 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项? 不会改变级数的收敛性? 比如? 级数

1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是收敛的;

1?22?33?4n(n?1),.

1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 也是收敛的; 1?22?33?4n(n?1)1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 也是收敛的?

级数

3?44?5n(n?1) 级数10000? 性质4 如果级数?un收敛? 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛? 且其和

n?1?不变?

应注意的问题? 如果加括号后所成的级数收敛? 则不能断定去括号后原来的级数也收敛? 例如? 级数（1?1)+（1?1) +? ? ?收敛于零? 但级数1?1?1?1?? ? ?却是发散的?

推论 如果加括号后所成的级数发散? 则原来级数也发散? 性质5 如果?un收敛? 则它的一般项un趋于零? 即limun?0?

n?1?n?0证明 设级数?un的部分和为sn? 且limsn?s? 则

n?1?n??n?0limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?

n??n??n?? 注? 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件?

例6 证明调和级数

n?1?n?1?2?3? ? ? ? ?n? ? ? ?

?1111是发散的?

证明 假若级数?1收敛且其和为s? s是它的部分和?

nn?1nn??n???显然有limsn?s及lims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n?? 但另一方面?

s2n?sn?1?1? ? ? ? ?1?1?1? ? ? ? ?1?1?

n?1n?22n2n2n2n2故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 这矛盾说明级数?n??1必定发散?

n?1n?