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课时跟踪训练(二) 充分条件和必要条件
1．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的________条件．(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)
解析：由2x＞20?x>0，且{x|1＜x＜2}{x|x>0}可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件．
答案：充分不必要
2．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.
解析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.
答案：－1
3．对任意实数a，b，c，给出下列命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a>b”是“a4>b4”的充分条件； ③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为________．
解析：①“a＝b”是ac＝bc的充分不必要条件，故①错，②a>b是a4>b4的既不充分也不必要条件，故②错．③④正确．
答案：③④
4．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的____________条件． 解析：由|a＋b|＝|a－b|可得a⊥b.所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
答案：既不充分也不必要
5．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________． 解析：由x2＞1，得x＜－1或x＞1. 又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件， 知由“x＜a”可以推出“x2＞1”，反之不成立， 所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案：－1
6．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
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c
证明：(1)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所
a以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
c
(2)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝
a<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 3x＋4y－12＞0，??
7．设p：?2x－y－8≤0，
??x－2y＋6≥0.实数r的取值范围．
解：设p，q对应的集合分别为A，B，则点集A表示的平面区域如图阴影部分所示，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，也就是圆x2＋y2＝r2外的点的集合，问题可转化为利用A?RB求r，因为A?RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，所以结合图象
可知，只需直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于或等于r，因为原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离d＝
|－12|32＋4
＝2
121212
0，?. ，所以实数r的取值范围为0＜r≤，即?5??55
q：x2＋y2≤r2(r＞0)，若q是非p的充分不必要条件，求
1
8．求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m＜.
3证明：充分性(由条件推结论)： 1
因为0＜m＜，
3
所以方程mx2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12m>0， 所以方程有两个不等的实根．
123
设方程的两根为x1，x2，当0＜m＜时，x1＋x2＝＞0且x1x2＝＞0，故方程mx2－2x
3mm1
＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m＜?方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相
3等的实根．
必要性(由结论推条件)：
若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
??Δ＝4－12m＞0，则有?
?x1x2＞0，?
11所以0＜m＜，即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根?0＜m＜.
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2020-2021年高二数学选修1-1“常用逻辑用语”： 第1章 跟练(二) 充分条件和必要条件(苏教版)
