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课时跟踪训练(二) 充分条件和必要条件
1.设p:1<x<2,q:2x>1,则p是q成立的________条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)
解析:由2x>20?x>0,且{x|1<x<2}{x|x>0}可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.
答案:充分不必要
2.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a=________.
解析:由1×3-a×(a-2)=0,得a=3或-1,而a=3时,两条直线重合,所以a=-1.
答案:-1
3.对任意实数a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a>b”是“a4>b4”的充分条件; ③“a<5”是“a<3”的必要条件;
④“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件. 其中真命题的序号为________.
解析:①“a=b”是ac=bc的充分不必要条件,故①错,②a>b是a4>b4的既不充分也不必要条件,故②错.③④正确.
答案:③④
4.设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的____________条件. 解析:由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
答案:既不充分也不必要
5.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a的最大值为________. 解析:由x2>1,得x<-1或x>1. 又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件, 知由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立, 所以a≤-1,即a的最大值为-1. 答案:-1
6.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
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c
证明:(1)充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2为方程的两根).所
a以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
c
(2)必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=
a<0(x1,x2为方程的两根),所以ac<0.
综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 3x+4y-12>0,??
7.设p:?2x-y-8≤0,
??x-2y+6≥0.实数r的取值范围.
解:设p,q对应的集合分别为A,B,则点集A表示的平面区域如图阴影部分所示,点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合,也就是圆x2+y2=r2外的点的集合,问题可转化为利用A?RB求r,因为A?RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r,所以结合图象
可知,只需直线3x+4y-12=0上的点到原点的最近距离大于或等于r,因为原点O到直线3x+4y-12=0的距离d=
|-12|32+4
=2
121212
0,?. ,所以实数r的取值范围为0<r≤,即?5??55
q:x2+y2≤r2(r>0),若q是非p的充分不必要条件,求
1
8.求证:方程mx2-2x+3=0有两个同号且不等的实根的充要条件是:0<m<.
3证明:充分性(由条件推结论): 1
因为0<m<,
3
所以方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m>0, 所以方程有两个不等的实根.
123
设方程的两根为x1,x2,当0<m<时,x1+x2=>0且x1x2=>0,故方程mx2-2x
3mm1
+3=0有两个同号且不相等的实根,即0<m<?方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相
3等的实根.
必要性(由结论推条件):
若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根,
??Δ=4-12m>0,则有?
?x1x2>0,?
11所以0<m<,即方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实根?0<m<.
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2020-2021年高二数学选修1-1“常用逻辑用语”: 第1章 跟练(二) 充分条件和必要条件(苏教版)
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