2 0 1 4 姓名：
年 — — 2 0 1 5 年 高 一 物 理 竞 赛 阶 段 测 试 二
得分：
m。在杆上钉一个钉子，使得杆可以
5、质量为 M 、半径为 R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，
盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为
m 的小青
O
1、如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为
蛙 ( 可
A
绕着钉子转动。钉子到两端距离分别为 l 1 和 l2。轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。你可能不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估计。以下四个答案中正确的 是哪一个（）
处理成质点 )，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一 青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为
致 ， 将
vx，竖直向arctan 速度记为 vy，合成的初始速度大小记为 v，将圆盘后退 上 的 分B
的
2 、一个质量为
m 质点，连在劲度系数 k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。将弹簧
原长 位置记为原点，即
x = 0 。在任意一个时刻，可以记录物体的位移
x 和速度 v ，以 x 为 横
轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一个点上。随着时间推移，这个点也会 移动。以下说法正确的是（ ） A．在 A 点的时候质点受到的合外力为 0
B．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆
C．这个点随着时间推移，会沿着
A→ B→C→D→A 的顺序移动 m
D．图形中 BD 与 AC 的比值为
3、在一根长的水平杆上穿着
5 个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地
运动。初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和
方向，则它们之间最多可以碰撞 （
）次。 A． 4 B．5
C． 8 D．10
4、如图一个倾斜角为 30 的斜面上，有一个质量为 m 半径为 r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之 间的摩擦系数为
3 / 3
。一根长为 r 的轻木棒一端铰接在距离圆心 3 r 处的 A 点，另一端
3
通过一块橡皮支撑在斜坡上。
（ 1） 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则OA 与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系统静
止。
（ 2） 若要求 OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数
' 至
少为多少？
速度记为 u。
(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
(1.1)对给定的 vx，可取不同的 vy，试导出跳起过程中青蛙所做功
W 的取值范围，
答案中可包含的参量为
M 、R、 m、g(重力加速度 )和 vx。
(1.2)将 (1.1)问所得 W 取值范围的下限记为
W0，不同的 vx 对应不同的 W0 值，试
导出其中最小者 Wmin，答案中可包含的参量为
M 、 R、 m 和 g。
(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘， 青蛙从原圆盘中心跳起后
瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为
45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆
盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为
W’，试求 W’与 (1.2)问所得 Wmin 间的比
值 γ=W‘/W min，答案中可包含的参量为 M 和 m。
6
、如大家所知， 海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用， 而在较小一些的程度上也来自太阳的
引力作用。为使问题简化，作如下假设
:
a)地球和月球组成 1 个封闭系统； b)月球到地球的距离为 l 个常量；
c)地球完全由海洋覆盖； d)不计地球的自转。
l、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为 M，地月中心间
距离为 r，万有引力常量为 G，地球半径为 R。 2、求地球上任意位置处的水位变化
h(θ)
7、如图有两根光滑的固定细杆， 方向水平夹角均为 30 ，斜向下。 初始时刻有两个质量为 m 的小圆 AB 环套在杆上，距离 O 均为 l 。用根长度为 l 的不可伸长的细线把 A 和 B 都系在一个质
量为 2m 的质点 C 上。重力加速度竖直向下为 g 。
（ 1） 初态三个 ABC 静止释放，求释放瞬间绳 AC 上的张力。
（ 2） 初态三个物体静止，给 C 一个向下的冲量
J ，使得 C 的速度变为 v0 。求 J ，并求此后
瞬间绳子拉力 T 。
8、一个质量为 m 的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为
3u / 2。初始时刻风速和飞船速
u/
3u/2
度相对惯性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于 为：相对于太阳风，速度为 2u ，方向垂直于风速向上。 （ 1） 以风速为参照系，
3u 的时候，飞船发动
初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞
机推力恒定为 F ，否则发动机推力恒定为 2F 。飞船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态
次。
vx 和 vy 为坐标轴（原风速方向沿
vx 方向），画出飞船初态、末态速
A．4
B．5 C． 8 D．10
度的位置，标记出飞船受力为 F 的范围。
（ 2） 求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。 9、如图所示，在一个光滑的底面积为
质量为 M 、半径为 R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆 盘中心处有一只质量为
S 1dm2 高为 H
0.2m 的固定圆柱形容器内，有一个
m 的小青蛙 (可处理成质点 )，小青蛙将从静止跳出圆盘。 为
解答表述一致， 将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为 vx，竖直向上的分速可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通）
，活塞质量为 m0 1.0kg ，活塞下方用一根劲
度系数为 k
200N/m ，原长为 l 0 0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。 初始时刻活塞位于距离底
面 h
0.1m 高的位置， 上方盛满方有密度为
1 10 3kg/m 3 的水，
用手拉住保持活塞静止然后释放。假设水一旦满出容器就 立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。 （ 1） 求释放活塞上升最大位移
（ 2） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。
10、如图 91a 所示 ,均质角尺 AB=BC=l，各段质量均为 M ，平放于光滑的水平面上，一质量为m 的小球以 vo 的速度沿水平面运动，且
vo ⊥AB，并与 AB 的中点 D 相碰，恢复系数 e=0.5。试求
质量比 M/m 为何值时，小球能恰好与角尺的
C 端相碰。
如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为
m。在杆
上钉一个钉子，使得杆可以绕着钉子转动。钉子到两端距离分别 为 l1 和 l 2。轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。你可能不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估计。以下四个答案中正确的是哪一个（）
一个质量为 m 质点，连在劲度系数
k 的弹簧上，沿着弹
簧方向做简谐振动。将弹簧原长
位置记为原点，即
x = 0 。在任
意一个时刻， 可以记录物体的位移
x 和速度 v ，以 x 为 横
轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一
个点上。 随着时间推移， 这个点也会移动。 以下说法正
确的是（）
A．在 A 点的时候质点受到的合外力为
0
B．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆
C．这个点随着时间推移，会沿着 A→ B→ C→D→A 的顺序移动 m
D．图形中 BD 与 AC 的比值为
在一根长的水平杆上穿着 5 个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。 度记为 vy，合成的初始速度大小记为 ，将圆盘后退的速度记为 。
v
u (1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。
(1.1)对给定的 vx，可取不同的 vy，试导出跳起过程中青蛙所做功
W 的取值范围，答案中可包含的参量为
M 、R、 m、g(重力加速度 )和 vx。
(1.2)将 (1.1)问所得 W 取值范围的下限记为
W0，不同的 vx 对应不同的 W0 值，试
导出其中最小者 Wmin ，答案中可包含的参量为 M 、R、m 和 g。
(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，
青蛙从原圆盘中心跳起后
瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为
45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆
盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为
W’，试求 W’与 (1.2)问所得 Wmin 间的比
值 γ=W‘/W min，答案中可包含的参量为 M 和 m。
如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引
力作用。为使问题简化，作如下假设
:
a) 地球和月球组成 1 个封闭系统； b)月球到地球的距离为 l 个常量；
c)地球完全由海洋覆盖；
d) 不计地球的自转。
l、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为 M，地月中心间
距离为 r，万有引力常量为 G，地球半径为 R。
2
、求地球上任意位置处的水位变化 h(θ)
如图一个倾斜角为
30 的斜面上，有一个质量为 m 半径为 r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之间
的摩擦系数为
3 / 3 。一根长为 r 的轻木棒一端铰接在距离圆心
3
r 处的 A 点，另一端通
3
过一块橡皮支撑在斜坡上。
（ 3） 若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则 OA 与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系统
静止。 （ 4） 若要求 OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数
' 至
少为多少？
【解答】
(1)由于 AB 是轻杆，只在两端点受力，所以
AB 对球作用力沿杆方向。 （ 1 分） 由于球不滑动，所以斜坡对球的支持力和摩擦力的合力与法向（垂直于斜面方向）不大于
arctan 30
（ 2 分）
由于球是力矩平衡的，所以支持力摩擦力合力、重力、杆对球的支持力三力交与一点。 这样 AB 的于过 O 点的重力所在的线的交点只能位于左图中红色阴影区域。 （3 分）
情景一 交点在下端点处。由平面几何可知这时候 A 恰好位于重力线和支持力摩擦力合力所在
直线的交点处（因为
VHOA 中恰好 OHA HOA 30 ，这样使得 OA
3
r ）
3
于是这个临界情景
OA 与竖直夹角为 0
（ 3 分）
情景二 交点在无穷远处，这时候三个力都沿竖直方向。由平面几何
r
3 r cos(
30 )
2
； 46.6
（ 4 分）
OA
由此可知 OA 与竖直夹角应位于 [0,46.6 ]
（ 3 分）
(2)由前一问可知，
AB 与法线最大夹角为 60
因此 B 点摩擦系数不应当小于
' tan60 3
（ 4 分）
题二、（ 24 分） 如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为
30 ，斜向下。初始时刻有两
个质量为 m 的小圆 AB 环套在杆上，距离 O 均为 l 。用根长度为 l 的不可伸长的细线把 A 和 B 都系在一个质量为
2m 的质点 C 上。重力加速度竖直向下为 g 。
（ 3） 初态三个 ABC 静止释放，求释放瞬间绳 AC 上的张力。
（ 4） 初态三个物体静止，给
C 一个向下的冲量 J ，使得 C 的速度变为 v0 。
求 J ，并求此后瞬间绳子拉力 T 。
【解答】
（ 1）由几何关系，可知 VAOC,VBOC 为等边三角 形 ， 各 内
O
角均为 60o
（ 1 分） 设 C 加速度 a ，由对称性， a 竖直向下
a'
A
设 A 加速度 a' ，由对称性， 两绳上张力相等， 设其B
T
为 T . 以 A 为系
C
T
mg
a
由静止释放时， A、C 无相对速度，故 C 无沿绳方
向加速度 '
a
a'
'
2ma
cos a cos
0 aa
（ 2
2mg
分）
3 3
以 A 为参考系，对 C 在垂直 AC方向根据牛顿第二定律2mg 2 ma T
3 3a 2m
2
（ 3 分）
地面系中，分析 A 受力有
1 T mg
ma
（ 1 分）
2
解得 a a '
g
4
T
3
mg
（ 2 分）
2
（ 2）设绳的冲量为 I
由速度关联， A、 C 沿绳方向速度相等
V
VA cos
V0 cos
VA V0
（ 1 分）
A
B
动量定理
I
J
I
I
J 2 I cos
2mV0
（ 1 分）
C
V 0
I cos
mV0
（ 1 分）
J
4mV0
（ 2 分）
a
'
'
mg
设 A 加速度 a ， C 加速度 a ，由对称性，
a 竖直向下，沿绳向加速
度等于向心加速度，即
TT T
2
mg
0
V 0 '3VV'
0 a cos
a cos
（ 2 分）
a a
l
2ma
'
牛顿第二定律
2mg
2mg 2ma' T
3 2m 3 a 3 a' （ 3 分）
2
2
2
地面系中，分析 A 受力
T cos
mg cos ma'
（ 1 分）
2
a 3V0 g
l 4
解得
'
3V0 2 g
a
l
4
3
2 Tmg
6mV
0
（ 3 分） 2 l
一个质量为 m 的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为
3u / 2 。初始时刻风速和飞船速度相对惯
性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于
3u 的时候，飞船发动机推力恒
高一物理竞赛班的试题.doc
