增分强化练(十三)
考点一 等差、等比数列的基本运算
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝4a1，则公比q＝( ) 1
A. 2C．2
1B. 3D．3
解析：由题意，根据等比数列的性质，可得S2＝a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1，∴q＝＝3，故选D. 答案：D
2．(2024·甘肃质检)在等差数列{an}中，已知a1与a11的等差中项是15，a1＋a2＋a3＝9，则
a2a1
a9＝( )
A．24 C．12
??a1＋a11＝2a1＋10d＝30
解析：由题得?
?a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝9?
B．18 D．6
??a1＝0
，解得?
?d＝3?
， 则a9＝8d＝24，故选A.
答案：A
3．(2024·三明质检)在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝42，则a8＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a2＝2，a5＝42，所以q＝＝22，因此a8＝a5q＝16. 答案：16
4．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.
3
a5
a2
3
a1?1－q4?
解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以
1－q3a1?1－q?242＝，解得q＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q＝2×2＝8.
1－q答案：8
考点二 等差、等比数列的判定与证明
1．(2024·蚌埠模拟)已知在数列{an}中，a1＝－1，且an－an－1＝(1)求数列{an}的通项公式；
?1?
(2)求证：数列??为等差数列．
?an?
2
1*
)(n≥2，n∈N)． n?n－1
解析：(1)由an－an－1＝
111
＝－，
n?n－1?n－1n - 1 -
11111
所以当n≥2时，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－，
223n－1n1
相加得，an－a1＝1－，
n1*
又a1＝－1，所以an＝－(n≥2，n∈N)，
n而a1＝－1也符合，
1*
所以数列{an}的通项公式为an＝－(n∈N)．
n111
(2)证明：由(1)知＝－n，则＝－1，＝－(n＋1)，
ana1an＋1
所以
1
an＋1an1
－＝－(n＋1)＋n＝－1(常数)，
?1?
所以数列??是首项为－1，公差为－1的等差数列．
?an?
2．(2024·桂林、崇左模拟)已知在数列{an}中，满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)． (1)证明：数列{an＋1}为等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解析：(1)证明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 又因为a1＋1＝2，
∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知an＋1＝2， ∴an＝2－1，
∴Sn＝(2－1)＋(2－1)＋…＋(2－1) ＝(2＋2＋…＋2)－n 2×?1－2?＝－n
1－2＝2
n＋1
n1
21
2
nnnn－n－2.
n＋1
故Sn＝2－n－2.
考点三 等差、等比数列的性质
1．(2024·宜春模拟)在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x－x－6＝0的两根，则a5·a6的值为( ) A．6 C．－1
解析：因为a2，a9是方程x－x－6＝0的两根，
2
2
B．－6 D．1
- 2 -
所以根据根与系数的关系可知a2·a9＝－6， 因为数列{an}是等比数列， 所以a5·a6＝a2·a9＝－6，故选B. 答案：B
2．在等差数列{an}中，a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100，a6－a2＝12，则a1＝( ) A．1 C．3
B．2 D．4
解析：在等差数列{an}中，由a1＋a5＋a7＋a9＋a13＝100得5a7＝100，即a1＋6d＝20 ，又4d＝12，得d＝3, a1＝2，故选B. 答案：B
3．(2024·晋城模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( ) A．63 C．61
B．62 D．60
2
12
解析：因为S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即3,12，S6－15成等比数列，所以S6－15＝，4解得S6＝63.故选A. 答案：A
4．(2024·长春质检)设Sn是各项均不为0的等差数列{an}的前n项和，且S13＝13S7，则等于( ) A．1 C．7
B．3 D．13
13?a1＋a13?
＝2
a7a4
解析：因为Sn是各项均不为0的等差数列{an}的前n项和，且S13＝13S7，所以7?a1＋a7?a7
13×，即a7＝7a4，所以＝7.故选C.
2a4答案：C
- 3 -
2024版高考数学大二轮复习第二部分专题2数列增分强化练(十三)(理)
