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间，如果备件不足再购买，则每个500元．现在决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年作用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0．5，求n的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
解：(1)当x≤19时，y＝3 800；
当x＞19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以y与x的函数解析式为
?3 800，x≤19，
y＝?(x∈N)．
500x－5 700，x＞19?
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0．46，不大于19的频率为0．7，故n的最小值为19．
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易1
损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000．
100
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的1
平均数为 (4 000×90＋4 500×10)＝4 050．
100
比较两个平均数可知，购买一台机器的同时应购买19个易损零件．
命题点四 回归分析与独立性检验
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命题指数：☆☆☆ 难度：高 题型：选择题、解答题 1．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 支出y(万元) 8．2 8．6 10．0 11．3 11．9 6．2 7．5 8．0 8．5 9．8 ^^^^^－^－根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0．76，a＝y－bx．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11．4万元 C．12．0万元
B．11．8万元 D．12．2万元
8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
解析：选B 由题意知，x＝＝10，
5
y＝
6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8
＝8，
5
^
∴a＝8－0．76×10＝0．4，
^
∴当x＝15时，y＝0．76×15＋0．4＝11．8(万元)．
2．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
8888x y w ? (xi－x)2 i＝1? (wi－w)2 i＝1? (xi－x)(yii＝1? (wi－w)(yii＝1－y) 46．6 563 6．8 289．8 1．6 1 469 －y) 108．8 18
表中wi＝xi，w＝?wi．
8
i＝1
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(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0．2y－x．根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距
n?
的最小二乘估计分别为β＝
^
ui－unvi－v，α＝v－β u．
^
^
i＝1
?
i＝1
ui－u2
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．
8
?
由于d＝
^
wi－w8
yi－y108.8
＝＝68， 1.6
i＝1
?
i＝1
^
^
wi－w2
c＝y－dw＝563－68×6．8＝100．6，
所以y关于w的线性回归方程为y＝100．6＋68w， 因此y关于x的回归方程为y＝100．6＋68x． (3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值y＝100．6＋6849＝576．6， 年利润z的预报值z＝576．6×0．2－49＝66．32． ②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
^
^
^
^
z＝0．2(100．6＋68x)－x＝－x＋13．6x＋20．12．
^
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^13.6
所以当x＝＝6．8，即x＝46．24时，z取得最大值．
2
故年宣传费为46．24千元时，年利润的预报值最大．
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高考数学大一轮复习板块命题点专练十五文1
