?213??102?????其系数矩阵 A?(?1,?2,?3)???14?6???01?1?
?7113??000?????于是，秩(A)?2?3，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为
?x1?2x3?0 ?x?x?03?2令x3?1，得一个非零解为x1??2,x2?1,x3?1 则?2?1??2??3?0
3．线性相关性的若干基本定理
定理1 n维向量组?1,?2,?,?m线性相关?至少有一个向量是其余向量的线性组合.即?1,?2,?,?m线性无关?任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.
定理2 如果向量组?1,?2,?,?m线性无关，又?,?1,?2,?,?m线性相关，则?可以用?1,?2,?,?m线性表出，且表示法是唯一的.
定理3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分
必无关.
定理4 无关组的接长向量组必无关.
（三）向量组的极大无关组和向量组的秩
1．向量组等价的概念
若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量组等价.
2．向量组的极大无关组
设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.
显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.
对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质： 定理1 向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组
等价.
定理2 向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.
3．向量组的秩与矩阵的秩的关系
把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.
把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩. 定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩（A）
此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.
例3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：
?1?(1,1,?2,7),?2?(?1,?2,,2,?9),?3?(?1,1,?6,6),?4?(2,1,4,3),?5?(2,4,4,3)
解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个4?5矩阵，再用初等行变换把它化成
简化阶梯形矩阵
A??1,?2,?3,?4,?5?TTTTT??1?1??1?2???22??7?9??122??1??114??0????6440???633???00000??10?10??B ?01?10?0001???1,?2,?3,?4,?5??4，而且B中主元位易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩?于第一、二、三、五列，那么相应地?1,?2,?3,?5为向量组的一个极大无关组，而且?4???2??3
（四）向量空间
1．
记作R
n向量空间及其子空间的定义
定义1 n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，
定义2 设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是R的子空间，也称为向量空间.
n2． 向量空间的基与维数
设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组
称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.
显然，n维向量空间R的维数为n，且R中任意n个线性无关的向量都是R的
一个基.
nnn3． 向量在某个基下的坐标
设?1,?2,?,?r是向量空间V的一个基，则V中任一个向量?都可以用
?1,?2,?,?r唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量?在此基
下的坐标.
第四章 线性方程组
（一） 线性方程组关于解的结论
定理1 设AX?b为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是
r(A,b)?r(A)
定理2 当n元非齐次线性方程组AX?b有解时，即r(A,b)?r(A)?r时，那
么
（1）AX?b有唯一解?r?n； （2）AX?b有无穷多解?r?n.
定理3 n元齐次线性方程组AX?0有非零解的充要条件是r(A)?r?n 推论1 设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组AX?0有非零解?A?0 推论2 设A为m?n矩阵，且m?n，则n元齐次线性方程组必有非零解
（二）齐次线性方程组解的性质与解空间
首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.
考虑由齐次线性方程组AX?0的解的全体所组成的向量集合
V???A??0?
显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及
数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间R的一个子空间，我们称V为方程组AX?0的解空间
n（三）齐次线性方程组的基础解系与通解
把n元齐次线性方程组AX?0的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一
个基础解系.
当n元齐次线性方程组AX?0有非零解时，即r(A)?r?n时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为n?r
求基础解系与通解的方法是：
对方程组AX?0先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为
方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.
?2x1?x2?2x3?3x4?0? 例1 求?3x1?2x2?x3?2x4?0的通解
?x?x?x?x?0234?1 解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：
行?(-1)+2行?10?34?2行?(-1)+3行?10?34??21?23?13行?(-1)+1行????1行?(-1)+2行??A??32?12???111?1???014?5?
?111?1??111?1??0000???????r(A)?2?4，有非零解，取x3,x4为自由未知量，可得一般解为
?x1?3x3?4x4,?x??4x?5x,?234 ?x?x3?3?x4?x4??3???4???????4??5??kx4?k2为任意常数，写成向量形式，令x3?k1，则通解为X?k1? 2???10?????0??1??????3???4??????4???5?,??可见，?1??为方程组的一个基础解系. 2???10?????0??1?????（四）非齐次线性方程组
1． 非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之
间的关系
设AX?b为一个n元非齐次线性方程组，AX?0为它的导出组，则它们的解之
间有以下性质：
性质1 如果?1,?2是AX?b的解，则???1??2是AX?0的解
性质2 如果?是AX?b的解，?是AX?0的解，则???是AX?b的解
2020版自考线性代数(经管类)重要考点
