Tij(k)，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.
3．初等变换与初等方阵的关系
设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.
4．矩阵的等价与等价标准形
若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为A?B
?ErO?对任一个m?n矩阵A，必与分块矩阵??OO??等价，称这个分块矩阵为A的等
???ErO?PAQ???OO??
??5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵
设A为任一个n阶可逆矩阵，构造n?2n矩阵（A，E） 然后 (A,E)?(E,A)
注意：这里的初等变换必须是初等行变换.
?1价标准形.即对任一个m?n矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得
?1?13??? 例2 求A??2?14?的逆矩阵
??12?4??? 解：
?1?131?(A,E)??2?140??12?40?
2行?1?1行?1012行???1??3行???01?2?001?00?1行???2??2行?1?13?1行?1?3行?10???01?2?01?101????110?3行???1??1行?10?3行?2?2行??210???01?003?11???100???210?101??
0?42?1??04?12?13?11????42?1????1则 A??4?12?
?3?11???
例3 求解矩阵方程
?1?13??11?????2?14X?43???? ??12?4??12?????
?1?13??11????? 解：令A??2?14?,B??43?，则矩阵方程为AX?B，这里A即为例2中
??12?4??12?????矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘A?1，得
??42?1??11??30???????X?A?1B??4?12??43???25?
?3?11??12??02???????也能用初等行变换法，不用求出A?1，而直接求A?1B
?1?1311??10030?????(A,B)??2?1443???01025??(E,A?1B)
??12?412??00102??????30????1则 X?AB??25?
?02???（六）矩阵的秩
1．
秩的定义
设A为m?n矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩(A)或r(A) 零矩阵的秩为0，因而0?秩(A)?min?m,n?，对n阶方阵A，若秩(A)?n，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.
2．
秩的求法
由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.
3．与满秩矩阵等价的条件
n阶方阵A满秩?A可逆，即存在B，使AB?BA?E
?A非奇异，即A?0
?A的等价标准形为E
?A可以表示为有限个初等方阵的乘积 ?齐次线性方程组AX?0只有零解
非齐次线性方程组AX?b有唯一解 ?对任意非零列向量b，
?A的行（列）向量组线性无关
?A的行（列）向量组为Rn的一个基
?任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一. ?A的特征值均不为零 ?ATA为正定矩阵.
（七）线性方程组的消元法.
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2对任一个线性方程组?
??????am1x1?am2x2???amnxn?bmT可以表示成矩阵形式AX?b，其中A?(aij)m?n为系数矩阵，b?(b1,b2,?,bm)为
T常数列矩阵，X?(x1,x2,?,xn)为未知元列矩阵.
从而线性方程组AX?b与增广矩阵A?(A,b)一一对应.
对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.
第三章 向量空间
（一）n维向量的定义与向量组的线性组合
1．
n维向量的定义与向量的线性运算
由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为n维行向量，即1?n矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即n?1矩阵
与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.
2．向量的线性组合
设?1,?2,?,?m是一组n维向量，k1,k2,?,km是一组常数，则称
k1?1?k2?2???km?m
为?1,?2,?,?m的一个线性组合，常数k1,k2,?,km称为组合系数.
若一个向量?可以表示成
??k1?1?k2?2???km?m
则称?是?1,?2,?,?m的线性组合，或称?可用?1,?2,?,?m线性表出.
3．矩阵的行、列向量组
设A为一个m?n矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的
列向量组.
若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.
4．线性表示的判断及表出系数的求法.
向量?能用?1,?2,?,?m线性表出的充要条件是线性方程组
x1?1?x2?2???xm?m??有解，且每一个解就是一个组合系数.
TTTT 例1 问??(?1,1,5)能否表示成?1?(1,2,3)，?2?(0,1,4)，?3?(2,3,6)的线
性组合？
解：设线性方程组为 x1?1?x2?2?x3?3??
对方程组的增广矩阵作初等行变换：
?102?1??1001?????(A,?)?(?1,?2,?3,?)??2131???0102?
?3465??001?1?????则方程组有唯一解x1?1,x2?2,x3??1
所以?可以唯一地表示成?1,?2,?3的线性组合，且???1?2?2??3
（二）向量组的线性相关与线性无关
1．
线性相关性概念
设?1,?2,?,?m是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数k1,k2,?,km，使
得
k1?1?k2?2???km?m?0，则称向量组?1,?2,?,?m线性相关，称k1,k2,?,km为
相关系数.否则，称向量?1,?2,?,?m线性无关.
由定义可知，?1,?2,?,?m线性无关就是指向量等式
k1?1?k2?2???km?m?0当且仅当k1?k2???km?0时成立.
特别 单个向量?线性相关???0；
单个向量?线性无关???0
2．求相关系数的方法
设?1,?2,?,?m为m个n维列向量，则?1,?2,?,?m线性相关?m元齐次线性方程组x1?1?x2?2???xm?m?0有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数?矩阵A?(?1,?2,?,?m)的秩小于m
TTT例2 设向量组?1?(2,?1,7),?2?(1,4,11),?3?(3,?6,3)，试讨论其线性相关性.
解：考虑方程组x1?1?x2?2?x3?3?0
2020版自考线性代数(经管类)重要考点
