椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳
考点一 椭圆的定义
椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a?F1.F2)的点的轨迹叫做椭圆.
这两定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=
c(0 注意：当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2a?F1F2; 1.F2)的点的轨迹是线段F当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2a?F1.F2)的点的轨迹不存在. 例 动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为 （ ） A、椭圆 B、线段F1,F2 C、直线F1,F2 D、不能确定 考点二 椭圆的标准方程 一 标准方程 x2y22221焦点在x轴上 标准方程是：2?2?1（其中b?a?c,a?b?0).焦点的坐标分别为(?c,0),(c,0) aby2x22222焦点在y轴上 标准方程是：2?2?1（其中b?a?c,a?b?0).焦点的坐标分别为(0,?c),(0,c) abx2y2??1的焦点坐标 3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求794 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为mx?ny?1（其中m?0,n?0） 22例 已知椭圆过两点A( 153,?1),B(?,2)，求椭圆标准方程 42y2x2x2y25 与2?2?1（a＞b＞0）共焦点的椭圆为2??1 aba?kb2?k6、椭圆的参数方程： ?x?acos?x2y2（1）、椭圆2?2?1参数方程 ? （?为参数）；（2）椭圆上的点的坐标可记（acos?,bsin?） aby?bsin??x2y2 ?0的距离的最小值为___________ ??1上的点到直线l:x?y?9 例 椭圆 169 1 椭圆常见题型与典型方法归纳 二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识 x2y2??1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若F2A?F2B?12 例 已知F1,F2为椭圆 259x2y21??1的离心率为，m? 。 则AB=________。2.标准方程要注意焦点的定位 例椭圆 4m2练习.1如果方程x?ky?k表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 22x2y22点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点P的横坐标 259 考点三 椭圆的简单几何性质 标准方程 x2y2??1(a?b?0) a2b2MF1y2x2??1(a?b?0) a2b2MF1F2图形 F2范围 对称性 顶点 离心率 焦点 焦距 长轴长 短轴长 准线方程 ?a?x?a,?b?y?b ?a?y?a,?b?x?b 关于原点对称 x轴和y轴是椭圆的对称轴 (a,0),(?a,0),(0,b),(0,?b) (b,0),(?b,0),(0,a),(0,?a) e?(c,0),(?c,0) c?(0,1) a(0,c),(0,?c) F1F2?2c（其中c2?a2?b2） 2a 2b x??a2c a2y?? cd?2b2a 通径 二 典型练习 x2y2??1的长轴位于 轴，长轴长等于 ；短轴位于 轴，短轴长等于 ；焦点在 轴上,焦1.椭圆43点坐标分别是 和 ；离心率e? ；左顶点坐标是 ;下顶点坐标是 ；椭圆上点的横坐标的范围 是 ，纵坐标的范围是 ；x0?y0的取值范围是 。 2 椭圆常见题型与典型方法归纳 2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率 （2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e? （3）若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e? 。 考点四 点、线与椭圆的位置关系 x2y2一 点p(x0,y0)和椭圆2?2?1(a?b?0)的位置关系 abx02y02（1）点p(x0,y0)在椭圆外?2?2?1abx02y02（3）点p(x0,y0)在椭圆内?2?2?1ab二.直线与椭圆的位置关系： 1 判断 直线与椭圆相交???0;直线与椭圆相切???0;直线与椭圆相离???0 2．弦长问题 （1）步骤：由椭圆方程与直线l方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积 （2）弦长公式 直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 ①当直线的斜率存在时，弦长公式： l?1?kx1?x2=(1?k2)?(x1?x2)2?4x1x2 ②当k存在且不为零时l?1?三 常用方法 2x02y02（2）点p(x0,y0)在椭圆上?2?2?1ab ??112y?y?1?(y?y)?4y1y2。 121222kkx2y2??1的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B； 1设而不求法 例 经过椭圆43（I）求线段AB的中点的坐标；（II）求线段AB的长 2 点差法 例 求椭圆x?2y?1中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程. 【小结】设A(x1,y2)，B(x2,y2)是椭圆 x2y2??1上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0,y0)为a2b222y1?y2y1?y2b2AB的中点，则两式相减可得???2即 ． x1?x2x1?x2ax2y23．中点弦问题：例 若椭圆??1的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 369 3 椭圆常见题型与典型方法归纳 4.综合应用 例1 已知椭圆 x2a2t) (t >0)，过点A(－a, 0)且以m?y2＝1(a为常数，且a>1)，向量m＝(1, 为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）． (1) 求t表示△ABC的面积S( t )；(2) 若a＝2，t∈[, 1]，求S( t )的最大值． 例2 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记 动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范 uuuuruuuruuur（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与MN共线？如 果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 12x2y2+=1的左、右焦点. 练习：设F1、F2分别是椭圆54（1）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的最大值和最小值； （2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线 l的方程；若不存在，请说明理由. 考点五 焦点三角形的性质及应用 一 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 设P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝?) 222 1方法 (1) 定义：r1＋r2＝2a (2) 余弦定理：(2c)?r1＋r2－2r1r2cos? (3) 面积S?pF1F2?11r1r2sin??2cy0 22x2y22 性质 已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0),左右两焦点分别为F1,F2,在焦点△PF1F2中，则 ab⑴S?F1PF2?btan2?2 ⑵若?F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点 ⑶cos??1?2e. 2x2y20例 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得?F1PF2?120, ab求椭圆的离心率e的取值范围。 练习 已知椭圆的焦点是F1 (－1，0)、F2 (1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的 等差中项 ⑴求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°求tanF2PF． 4 椭圆常见题型与典型方法归纳 考点六 椭圆标准方程的求法 一 常用方法： 1定义法， 2待定系数法 步骤 ①定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点位置设出相应方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。 3当椭圆过两定点时，其标准方程可设为mx?ny?1(m＞0，n＞0)， 二 应用示例 1．定义法 例1 已知△ABC的顶点B，C的坐标分别为(?3，，，0)(30)，AB边上的中线CE与AC边上的中线BF 交于点G，且GF?GE?5，求点G的轨迹方程． 例2求到两定点F1(?3,0),F2(3,0)的距离和等于10的点的轨迹方程． 练习1已知B,C是两个定点BC长等于8，且△ABC的周长等于20，求顶点A的轨迹方程 2已知△ABC三边AB,BC,CA的长成等差数列，且AB长大于CA长，点B,C的坐标为（-2，0），（2，0），求顶 点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线 22x2y2?1(a?5)的两个焦点为F1,F2,︳且F1F2?8，弦AB过点F1，则△ABF2 的周长 3 已知椭圆2?a254 椭圆的两个焦点是(?6,0),(6,0)，过点(6,1），求椭圆的方程。 2待定系数法 例 已知椭圆的焦距离为26且过点(3，2)，求焦点在x轴上时的标准方程． 3．轨迹法 例△ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0），（4,0）边AC,BC所在直线的斜率之积等于?迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；． 三 典型练习 练习1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(?,)； 5 9，求顶点C的轨163522
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