高中数学选修2-1课时作业
3.2立体几何中的向量方法（二） ——空间向量与垂直关系
一、选择题
1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( ) A．l∥αB．l?αC．l⊥αD．l?α或(l∥α) [解析]选D.因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.
2．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
1010A．－B．6C．－6 D. 33[解析]选B.∵α∥β，
23－1
∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴＝＝.∴λ＝6.
4λ－2
→
3．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) →→→→→→→→A.PA·AB＝0 B.PC·BD＝0C.PC·AB＝0 D.PA·CD＝0 [解析]选C.∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.
又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．故选C.
4．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是( )
A．－3或1 B．3或－1C．－3 D．1
[解析]选A.|a|＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， 1
∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
25．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为( ) A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
?n＝0，?a·?[解析]选C.显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则 ?b·n＝0，???2x＋3y＋z＝0，
∴?令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2,1,1)． ?5x＋6y＋4z＝0.?
6．已知平面α内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则( )
A．α∥β B．α⊥βC．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 →→
[解析]选A.AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，
1
高中数学选修2-1课时作业
→n·AB＝(－1，－1，－1)·(0,1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0， →n·AC＝(－1，－1，－1)·(1,0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0， →→
∴n⊥AB，n⊥AC.∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β. 二、填空题
→→→
7．若AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________． →→→→→→
[解析]∵AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则AB与CD、CE共面．∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
[答案]AB∥平面CDE或AB?平面CDE
→
8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，则AE与平面A1D1F的关系为________．
[解析]设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
11
则A(1,0,0)，E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(0，，0)，A1(1,0,1)．
221→1→→
AE＝(0,1，).D1F＝(0，，－1)，A1D1＝(－1,0,0)．
221111→→→→
∴AE·D1F＝(0,1，)·(0，，－1)＝－＝0，AE·A1D1＝0，
2222→→→→
∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1.又A1D1∩D1F＝D1， →→
∴AE⊥平面A1D1F，∴AE是平面A1D1F的法向量． →
[答案]AE⊥平面A1D1F 9．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v?α∥β； ②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α∥β?u·v＝0； ③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 其中正确的命题序号是________．
[解析]①中，α，β有可能重合；②正确；③中，∵u⊥α，a∥α，∴u⊥a.∴u·a＝0，③正确；④正确． [答案]②③④
2
高中数学选修2-1课时作业 三、解答题
10．如下图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
证明：如下图所示，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)
44→→2→→2
∵AP＝2PA1，∴AP＝2PA1＝AA1，即AP＝(0,0,2)＝(0,0，)，∴P点坐标为(3,0，)．
333322→→→→
同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4，)．∴PQ＝(－3,2，)＝RS，∴PQ∥RS，又∵R?PQ，
33∴PQ∥RS.
11．如下图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．
解：设点M(x，y，z)，由图可知，A(a,0,0)，B(a，a,0)，
→→→
C1(0，a，a)，则AC1＝(－a，a，a)，AM＝(x－a，y，z)，BM＝(x－a，y－a，z)， →→
因为BM⊥AC1，所以BM·AC1＝0，即－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，∴x－y－z＝0.① →→→→
又因为AC1∥AM，所以AM＝λAC1(λ∈R)，即x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，
211?2aa
∴x＝a－λa，y＝λa，z＝λa，②由①②得x＝a，y＝，z＝，所以M??3a，3a，3a?. 33312．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.证明： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD.
3
高中数学选修2-1课时作业6：3.2 立体几何中的向量方法(二)
