模块十三 常数项级数
Ⅰ经典习题
一．具体级数收敛性的判别
1、判断下列级数的收敛性
?lnn（1）?2 （2）?n?1nn?1??nn?1
?（3）
???n?1n2?1n?1?n?1 （4）?ln2
n?1n?122???2???1?n?a??
（5）? （6）?2n?12n2n?1n?1?1?a??1?a?...?1?a??n?（7）
?nen?1??2?n （8）
??n?1?1n0ln?1?x?dx
2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）
???1? ln2n（1）???1? （2）?nnnn?2n?1nn（3）
????1?n11n?11??...?2n? （4）
?n?1???1?nan2n1?a，（a?1）
3、下列级数中不一定收敛的是（ ）
?2nn!nn?1（A）?n （B）? n?1nn?1?n?1?n?1（C）
?n?1?1?ann2?bn?c?n,a?0,b?0np,0?p?1 （D）??n?1?4、下列级数条件收敛的是（ ）
?k?n?n(?2)sin（A）???1? （B） ?2nn3n?1n?1?（C）
???1?n?1?n??n?2，其中?an收敛. （D）??? 22n?1?n?1n?1?n?1an??n5、对于常数k?0，级数?(?1)n?1tan(?n?1?1nk)( ) 2nwww.kaoyan365.cn
(A)发散 (B)绝对收敛
(C)条件收敛 (D)收敛性与k的取值有关 6、设a为常数，则级数
?[n?1?sin(na)1?](). 2nn（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与a的取值有关
111??L??11?n2n?1. ]的敛散性，并证明lim7、判别级数?[?lnn??nlnnn?1n二．抽象级数收敛性的判别
8、
?(?1)n?1?n?1n0sinkxdx (k为常数) （ ） 1?x3（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性有k有关 9、设f(x)是微分方程y??xy?(x?1)e满足初始条件y(0)?0的特解， 则无穷级数
2x1n(?1)f() ( ) ?n（A） 绝对收敛 （B） 条件收敛 （C） 发散 （D） 敛散性不定 10、设函数f(x)在区间(0,1)内可导，且导函数f?(x)有界：f?(x)?M，证明
（1）级数
1??1f()?f()?绝对收敛； ??nn?1?n?1?1n?（2）limf()存在．
n??11、设函数y?y?x?是微分方程y'?x?y当y?0??1时的一个特解，试讨论级数
???fn?1??1??1??1????的收敛性. nn???x???12、设f?x?在?1,???上单调增加，且limf?x??A. （1）证明级数
???f?n?1??f?n???收敛，并求其和；
n?1?（2）进一步设f?x?在?1,???上二阶可导，且f???x??0,证明级数
??f??n?收敛。
n?1?13、设正项数列?an?单调下降，且
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???1?n?1n?a?an发散，证明??1?n?1?收敛.
an?n?1??
三．收敛性的讨论
14、已知un?0(n?1,2,3L)，且
??(?1)unn?1?n条件收敛，若设?n?3u2n?1?u2n(n?1,2,3...)，
则级数
??n?1n( ).
(A)条件收敛 (B)绝对收敛
(C)发散 (D)收敛或发散取决于{un}的具体形式 15、下列选项中正确的是( )
??an?1，则?an与?bn有相同敛散性 (A)若limn??bn?1n?1n? (B)若正项级数
?an?1?n?1n收敛，则必有limn??nan?1
(C)若正项级数
?an发散，则必有an??n1 n (D)正项级数
?n?(??0,?n?1n??0)的敛散性与?、?有关
16、下列四个有关级数的论断 ①若级数
?un?1?发散，则limun?0n??
?un?1?1，则?un必收敛 ②若limn??un?1n??③若正项级数
?un?1n收敛，则级数
?un?1?2n必收敛
④若un?0(n?1,2,3...)且交错级数
?(?1)n?1n?1un条件收敛，则级数?un必发散
n?1?正确的是( )
(A)①与② (B)②与③ (C)③与④ (D)①与④ 17、若级数
?an?1?n收敛，则级数
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考研数学高等数学强化习题-常数项级数
