3，或k≥1 ．
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案． 【解答】解：如图，
∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）， 又
，
∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1． 故答案为：k≤﹣3，或k≥1．
【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
18．（2015春?乐清市校级期末）已知x，y满足直线l：x+2y=6． （1）求原点O关于直线l的对称点P的坐标； （2）当x∈[1，3]时，求
的取值范围．
【分析】（1）设对称后的点P（a，b），根据点的对称即可求原点O关于直线l的对称点P的坐标．
（2）根据斜率公式可知，表示的为动点（x，y）到定点（2，1）的两点的斜率的取值范围．
【解答】解：（1）设原点O关于直线l的对称点P的坐标为（a，b），
则满足，解得a=，b=，故；
（2）当x∈[1，3]时，的几何意义为到点C（2，1）的斜率的取值范围．
当x=1时，y=，当x=3时，y=， 由可得A（1，），B（3，），
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从而kBC==，kAC==﹣，
∴k的范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和斜率几何意义的灵活运用．
19．（2016秋?浦东新区校级月考）已知点A（1，2）、B（5，﹣1）， （1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；
（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．
【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；
（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线． 【解答】解：∵|AB|=
=5，|AB|＞2，
∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点， ①当直线l平行直线AB时：kAB=
，可设直线l的方程为y=﹣x+b
依题意得：=2，解得：b=或b=，
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故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；
②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k（x﹣3） 依题意得：故直线l的方程为：
=2，解得：k=
，
x﹣2y﹣=0；
（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，
经过AB中点的直线， 若2m＜|AB|，则有2条； 若2m=|AB|，则有1条； 若2m＞|AB|，则有0条， ∵|AB|=5，
综上：当m＜2.5时，有4条直线符合题意； 当m=2.5时，有3条直线符合题意； 当m＞2.5时，有2条直线符合题意．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力
20．（2015秋?眉山校级期中）已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标； （2）求点P到直线l的距离的最大值．
【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组得方程组的解即为直线l恒过的定点．
（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值
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，求
【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0， ∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q， 解方程组
，得Q（1，﹣2），
∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．
（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|， 当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，
∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于
=2
．
【点评】本题考查了直线系方程问题，考查了点到直线的距离公式，正确理解题意是关键，是中档题．
21．（2010秋?常熟市期中）已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0． （Ⅰ）证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．
【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x﹣y﹣4．（3分）
得
∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）
（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1）， ∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）
S△AOB=?OA?OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣∵k＜0，∴﹣k＞0，
|..（10分）
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∴S△AOB=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．
当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分） ∴△AOB的面积最小值是4，（14分）
直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）
【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识，三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
22．（2016秋?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射． （1）求点M关于x轴的对称点P的坐标； （2）求反射光线所在的直线l3的方程． （3）求与l3距离为
的直线方程．
【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；
（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；
（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可． 【解答】解：（1）由
得
，∴M（﹣2，1）．
所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）． …（4分） （2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.直线l3的斜率
．
．即
．…（9分）
，所以
故反射光线所在的直线l3的方程为：解法二：
因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2． 根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．
所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程． 直线PN的方程为：
，整理得：
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．
(完整版)高中数学直线方程练习题
