1 【人教版】红对勾2024届高考一轮数学（理）复习：课时作业
课时作业25 解三角形应用举例
1．(2024·襄阳模拟)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( D )
A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80°
D．南偏西80°
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.
2．(2024·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( B )
A．a km B．3a km C．2a km
D．2a km
解析：由题图可知，∠ACB＝120°，
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由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－
2·a·a·???－1?
2??
＝3a2，解得AB＝3a(km)． 3．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( D )
A．56 B．153 C．52
D．156
解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC30
sin30°＝sin135°，所以BC＝152. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156. 4．如图所示，为了了解某海域海底构造，在海平面上取一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，则∠DEF的余弦值为( A )
A．1665
B．1965
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C．1657 D．1757
解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，
则DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)， DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)， EF＝?BE－FC?2＋BC2＝902＋1202＝150(m)．
DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF2
在△2DE·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150
＝16
65.
5．地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α
2，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( B )
A．50 m,100 m B．40 m,90 m C．40 m,50 m D．30 m,40 m
解析：设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为
β.则tanα＝Hαh
120，tan2＝120，
2×h根据三角函数的倍角公式有H
120120＝1－??h?.①
2?120??
因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，
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所以在O点望矮塔塔顶的仰角为π
2－β，
由tanβ＝H?60，tan?π?2－β??hH60?＝60
，得60＝h.② 联立①②解得H＝90，h＝40. 即两座塔的高度分别为40 m,90 m.
6．如图所示，一座建筑物AB的高为(30－103)m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD．在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为( B )
A．30 m B．60 m C．303 m
D．403 m
解析：在Rt△ABM中，AM＝AB
30－10330－103sin∠AMB＝sin15°＝6－2
＝4206(m).
过点A作AN⊥CD于点N，如图所示． 易知∠MAN＝∠AMB＝15°， 所以∠MAC＝30°＋15°＝45°. 又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，
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所以∠ACM＝30°.
在△AMC中，由正弦定理得MC206sin45°＝sin30°， 解得MC＝403(m)．
在Rt△CMD中，CD＝403×sin60°＝60(m)， 故通信塔CD的高为60 m.
7．(2024·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长1002m.
解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得100xsin30°＝sin45°， 解得x＝1002.
8．如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为900__m. 解析：由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°， ∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA．
【人教版】2024届高考一轮数学(理)复习：课时作业 (25)
