西华大学《高等数学》专升本考试题（2016）
2016年西华大学专升本《高等数学》考试题
一、判断正误（每小题2分，共10分）
1、函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 （ 错误 ） 【知识点】极值的必要条件。
解析：由极值的必要条件知，驻点和奇点都可能是极值点。如，函数y?x在x?0点是奇点，但x?0为极小值点。
2、函数f(x)在(??,??)上连续，则对任意常数a,b有（ 错误 ）
【知识点】定积分的性质。
解析：对任意f(x)，有f(x)?f(x)?1； （1）当a?b时，（2）当b?a时，
?baf(x)dx??[f(x)?1]dx。
ab??babf(x)dx??[f(x)?1]dx；
abaf(x)dx??[f(x)?1]dx。
a23x23xb3、方程y???y??6y?xe的特解形式可设为y?x(ax?bx?c)e 。（ 正确 ）
k?x【知识点】二阶常系数非齐次方程的特解形式。（特解y*?xeQn(x)由三部分构成）
解析：由r?r?6?0得：r1?3,r2??2，
因??3为特征单根，所以，特解应设为：y?x(ax?bx?c)e。
23x24、级数
xnn!?()在x?e时发散。 （ 错误 ） ?nn?1?【知识点】幂级数的收敛域。
xun?1(n?1)!xn?1nn?lim???1，即x?e，即收敛区间(?e,e)。 解析：limnnn??un??e(n?1)n!xn即，当x??e或x?e时，幂级数发散。
5、设?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解，则2?1??2任是AX?b的解。 （ 正确 ）
【知识点】非齐次线性方程组解的定义。
解析：因A(2?1??2)?2A?1?A?2?2b?b?b，所以，2?1??2为AX?b的解。
二、填空题：（每题4分，共16分）
1、设函数f(u)具有连续偏导数，z?f(x?y)，则全微分dz? 。
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【知识点】全微分的定义。 解析：dz?2f?(xdx?ydy)
TTTT2、已知向量组?1?(1,1,1,0)、?2?(0,k,0,1)、?3?(2,2,0,1)、?4?(0,12,1)线性相
关，则k? 。
【知识点】向量组的线性相关性（齐次线性方程组有非0解）。 解析：
0??111??0?22??0?k1?k??1因为向量组线性相关，所以，1?2k?0，即k?。
23、二次积分I??1??1?1??0?020??k21??002??111???1??0?0??0?0??k01??0?22??111??02?1??0?0??0?02?1??0?0??0?0??111?
0?11??001?2k??02?dx?1elnx0f(x,y)dy可改变积分次序为I? 。
【知识点】交换积分次序。
解析：原积分区域D为：1?x?e,0?y?lnx； 将D化成Y型区域为：0?y?1,e?x?e，故I?y?dy?01eeyf(x,y)dx。
4、幂级数
?[n?0?1n3n?(?1)]x的收敛半径为 。 nn34【知识点】幂级数的收敛半径（代数和运算）。
13n?134n?1?3；R2?limn??4，即R?min{3,4}?3。 解析：R1?limn?n??3n??134（方法二）R?limann??an?113nn3n?(?1)1?(?1)?3()nn344?lim?lim?3。 n??1n??3113?(?1)n?1n?1?(?1)n?1?()nn?134434三、求解下列各题（每小题6分，共60分） 1、求极限lim(n??111????)。 222n?n?1n?n?2n?n?n【知识点】夹逼定理。
1n111n1?2?2?2???2?2? n?1n?nn?n?1n?n?2n?n?nn?n?nn11?0，lim?0，由夹逼定理知， 而limn??n?1n??n111lim(2?2???2)?0。 n??n?n?1n?n?2n?n?n解析：
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西华大学《高等数学》专升本考试题（2016）
2、设函数f(x)在点x?x0处连续，且limx?x0f(x)?A（A为常数），问f?(x0)是否存在，
x?x0若存在求其值。
【知识点】极限、连续的性质，导数的定义。 解析：因f(x)在点x?x0处连续，且limx?x0f(x)?A，故limf(x)?f(x0)?0；
x?x0x?x0f?(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)f(x)?lim?A，即f?(x0)存在且f?(x0)?A。 x?x0x?xx?x00?x?2e?t3、求曲线?在t?0相应点处的切线与法线方程。 t?y?e【知识点】导数的几何意义（参数方程求导）。
dyy?et12t1????e解析：，即切线斜率，切点为(2,1)， k??dxx??2e?t22故，切线方程为：y?1??1(x?2)；法线方程为：y?1?2(x?2)。 2xex4、计算积分?dx。 2(1?x)【知识点】分部积分法。
xex(1?x)ex?exexex解析：?dx??dx??dx??dx 222(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)ex1exexexexx??dx??ed??dx???dx??c。
(1?x)1?x(1?x)1?x1?x1?xxexexex（方法二）?dx??d()??c。 21?x1?x(1?x)5、求微分方程ylnydx?(x?lny)dy?0的通解。 【知识点】一阶线性非齐次微分方程。 解析：由ylnydx?(x?lny)dy?0得：x??1111x?（一阶非齐次）， ylnyy于是，x?e??ylnydy1?ylnydy1112[?e?c]?e?lnlny[?lnydy?c]?[lny?c]。 yylny26、求曲线y?x与直线y?x,y?3所围成的区域绕y轴旋转而成立体的体积。
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【知识点】旋转体的体积。
解析：（图示）积分变量为y，积分区间[1,3]， 于是，Vy???31(y2?y)dy?14?。 3?x1?2x3?x4?2?7、设非齐次线性方程组?x1?x2?x3?4x4?a，问a为何值时，方程组无解、有无穷解，
?x?x?3x?2x?1234?1并在有解时求出其全部解。
【知识点】非齐次线性方程组解的判定定理、非齐次方程组的通解。
212??10212??10????4a? ??01?13a?2? 解析：A??111?1?13?21??0?11?3?1?????212??10212??10??????01?13a?2???01?13a?2? ?0?11?3?1??0000a?3?????当a?3时，方程组无解；当a?3时，方程组有无穷多解。
T取x3,x4为自由变量，令x3?x4?0得非齐次特解：x0?(2,1,0,0)；
T令x3?1,x4?0和x3?0,x4?1，得基础解系：?1?(?2,1,1,0)，?2?(?1,?3,0,1)，
T故，非齐次线性方程组的通解为：x?x0?k1?1?k2?2。
?10212????x1?2x3?x4?2（方法二）当a?3时，A??01?131?，等价方程组为?
?x2?x3?3x4?1?00000????x1??2k1?k2?2?x?k?3k?1?212取x3,x4为自由变量，令x3?k1,x4?k2得：?，
x?k31??x4?k2??x1???2???1??2??????????x2??1???3??1?即，方程组通解（向量式）为：???k1? ?k???（其中k1,k2为任意常数）2???x100?3????????0??1??0??x????????4?8、计算二重积分
22222D:(x?a)?y?a(x?2y)x?yd?，其中所围成闭区域。 ??D【知识点】极坐标系下的二重积分（利用对称性）。
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解析：积分区域D:?于是，有
?2????2;0?r?2acos?，且区域D关于x轴对称，
222yx?yd??0，即 ??D???(x?2y)Dx?yd????xx?yd????d??2D?22acos?22222acos?0(rcos??2rsin?)r2dr644a。 152???54??2?cos?d???20rdr?4a34??cos?d??8a2?2?20cos5?d??23229、计算曲线积分I?(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy，其中L是曲线y?x上由点
?LA(1,1)到点B(2,4)的曲线段。
【知识点】曲线积分与路径无关。
解析：令P?6xy?y，Q?6xy?3xy，
2322?Q?P?12xy?，即曲线积分与路径无关， ?x?y选择折线A(1,1)?C(2,1)?B(2,4)，于是
I??(6x?1)dx??(24y?6y2)dy?8?54?62。
112410、求和函数： （1）
?nxn?1?2n?1 （2）
?nxn?1?n
【知识点】幂级数的和函数。 解析：（1）
?xn?1??2nx2?（x?1）， 1?x22n?1?2xx2n?1?nx?，于是，（x?1）。 ?22(1?x2)2(1?x)n?1两边求导：
?2nxn?1（2）
?xn?1?n?x（x?1）， 1?x两边求导：
?nxn?1?n?1?1xn?nx?，于是，（x?1）。 ?2(1?x)2(1?x)n?1
四、证明题（每小题7分，共14分）
1、设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点?，使
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专升本试题及解答(西华2016(高等数学))
