第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标 (r,?) 来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。 第1节 平面极坐标下的基本公式 采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,? 函数。 体力：fr=Kr , f?=K? 面力：Kr?Fr,K??F? o ? r P y x ???? 应变：?r, ?? ,?r?=?? r 位移：u r , u? 应力：r, ? ,r?=? r 直角坐标与极坐标之间关系: x=rcos?, y=rsin? ???r????sin?????cos??x?r?x???x?rr?????r????cos?????sin???y?r?y???y?rr?? 1.1 平衡微分方程 ??r1???r1??(?r???)?fr?0 ?rr??r
??r?1???2?r????f??0 ?rr??r1
1.2 几何方程 ?ur?? r?r ur1?u??， ???rr??， ?r?1?ur?u?u????r???rr 1.3 变形协调方程 1?2?r1?21?21??r?(r??)?2(r?r?)??0 222r?rr?rr??r?r??1.4 物理方程 平面应力问题： 112(1??)??(????)??(????)?r? r?， ??r， ?r?? rEEEE? 平面应变问题将上式中E?即得。 2，??1??1??1.5 边界条件 1. 位移边界条件：ur2. 力的边界条件： ?ur，u??u? 在 su 上 ???? ?rcos(n,r)???rcos(n,s)?Kr?Fr ????? 在 s? 上 ??rcos(n,r)??rcos(n,s)?K??F??环向边界 n//r:?r??Kr,?r???K? （r=r0） 径向边界 1.6 按位移法求解
基本未知函数为位移u r , u? ，应变、应力均由位移导出。
????n//s(n?r):?θr??Kr,????K? （?=?0） 2
平面应力问题时的应力由位移表示 EE??ur1?u?ur?(?r????)???(?)? ?r?22?r??r?1??1????r?urEE1?u?ur(?????r)?(???) ???22r?r1??1??r?? ?r?EE1?ur?u?u???r??(??) 2(1??)2(1??)r???rr上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。 ??r1??r?(?r???)???Kr?0, ?rr??r ??r?1???2?r????K??0 ?rr??r 力的边界条件也同样可以用位移表示。 1. 7按应力法求解 在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题） ???x??xy??fx?0??x?y???xy??y???fy?0??x?y ? ?fx?fy?2??(?x??y)??(1??)(?x??y)?22??2?＝2?2 其中 ?x?y 3
第七弹性力学平面问题的极坐标系解答
