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x2y2320.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，焦距为23．
ab2（1）求C的方程；
（2）若斜率为?1的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐2标原点，证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．
x2【答案】(1) ?y2?1.(2)见解析.
4【解析】 【分析】
?c3??2，再由b2?a2?c2，求解，即可得出结果； （1）根据题中条件，得到?a?2c?23?（2）先设直线l的方程为y??1x?m，P?x1,y1?，Q?x2,y2?,联立直线与椭圆方程，2y1y22，只需和kPQ相等，即可证明结论成立. x1x2结合判别式、韦达定理等，表示出kOPkOQ??c3a?2??2 ，解得{【详解】（1）由题意可得?a，
c?3?2c?23?又b2?a2?c2?1，
x2所以椭圆方程为?y2?1.
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（2）证明：设直线l的方程为y??1x?m，P?x1,y1?，Q?x2,y2?, 21?y??x?m??222由?2，消去y，得x?2mx?2?m?1??0 ?x?y2?1??4则??4m?8m?1?42?m2?2??2??0，且x?x12?2m?0，x1x2?2?m2?1??0
1m2?1?1??1?12故y1y2???x1?m???x2?m??x1x2?m?x1?x2??m?
22?2??2?4kOPkOQ11x1x2?m?x1?x2??m2yy12?12?4??k2PQ x1x2x1x24即直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列.
【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.
21.设函数f(x)?x?aln(1?x)，g(x)?ln(1?x)?bx． 1?x（1）若函数f（x）在x?0处有极值，求函数f（x）的最大值；
（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g(x)?0在(0,??)上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；
【答案】（1）函数f（x）的最大值为0（2）存在b?[1,??)，详见解析
【解析】 【分析】
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（1）函数f（x）在x?0处有极值说明f'?0??0
（2）对g?x?求导，并判断其单调性。
【详解】解：（1）由已知得：f(x)??1a?，且函数f（x）在x?0处有极值
2(1?x)1?x∴f?(0)?1a(1?0)2?1?0?0， ∴a?1
∴f(x)?x1?x?ln(1?x)， ∴f?(x)?11?(1?x)2?1?x?x(1?x)2
当x?(?1,0)时，f?(x)?0，f（x）单调递增； 当x?(0,??)时，f?(x)?0，f（x）单调递减； ∴函数f（x）的最大值为f(0)?0．
（2）由已知得：g?(x)?11?x?b ①若b…1，则x?[0,??)时， g?(x)?11?x?b?0 ∴g(x)?ln(1?x)?bx在[0,??)上为减函数， ∴g(x)?ln(1?x)?bx?g(0)?0在(0,??)上恒成立； ②若b?0，则x?[0,??)时，
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g?(x)?1?b?0 1?x∴g(x)?ln(1?x)?bx在[0，+∞）上为增函数， ∴g(x)?ln(1?x)?bx?g(0)?0， 不能使g(x)?0在(0,??)上恒成立；
③若0?b?1，则lg(x)??1?b?0时， 1?xx?1?1， b?1??1?时，g?(x)…0， b???1??1?上为增函数， b??当x??0,∴g(x)?ln(1?x)?bx在?0,此时g(x)?ln(1?x)?bx?g(0)?0， ∴不能使g(x)?0在(0,??)上恒成立； 综上所述，b的取值范围是b?[1,??)．
【点睛】本题主要考查了函数的极值，以及函数单调性的讨论，在解决此类问题时关键求导，根据导数判断单调性以及极值。属于难题。
22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为?2?cos??4sin???4，过点P?2,1?的直线l的参数方程为
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??x?2????y?1???2t2（t为参数）. 2t2（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求AB的值，并求定点P到A，B两点的距离之积.
【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程x?y?1?0，曲线C的直角坐标方程为x?4y?4?0；（Ⅱ）.
2285【解析】 【分析】
22（Ⅰ）由?cos??x,?sin??y可得曲线C的直角坐标方程为x?4y?4?0；用消参法
消去参数t，得直线l的普通方程x?y?1?0.
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，由直线的参数方程中的参数几何意义求解.
??x?2??【详解】（Ⅰ）由??y?1???x?y?1?0.
由?22t2（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程2t2?cos??4sin???4，得曲线C的直角坐标方程为x222?4y2?4?0.
??x?2??（Ⅱ）将直线l的参数方程为??y?1???2t2（t为参数）， 2t225
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甘肃省天水市一中2020届高三一轮复习第一次模拟考试理科数学试题 Word版含解析
