【证明】 (1) 如图，取AD的中点O，连结OP，OF. 因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD. 又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB. 又四边形ABCD是正方形，所以OF⊥AD. 因为PA＝PD＝
2AD， 2
a
所以PA⊥PD，OP＝OA＝.
2
以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， aaaaaa
，0，0?，F?0，，0?，D?－，0，0?，P?0，0，?，B?，a，0?，C?－，a，0?. 则A?2??2??2??2???2??2?aaa
－，，?. 因为E为PC的中点，所以E??424?a→
0，，0?. 易知平面PAD的一个法向量为OF＝??2?aa→
，0，－?， 因为EF＝?4??4
aaa→→
0，，0?·?，0，－?＝0， 且OF·EF＝?4??2??4所以EF∥平面PAD.
aa→→
，0，－?，CD＝(0，－a，0)， (2) 因为PA＝?2??2aa→→
，0，－?·(0，－a，0)＝0， 所以PA·CD＝?2??2→→
所以PA⊥CD，所以PA⊥CD. 又PA⊥PD，PD∩CD＝D， 所以PA⊥平面PDC. 又PA?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PDC.
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变式2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝
2AD，设E，F分别为PC，BD的中点． 2
求证：(1)EF∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PDC.
【证明】(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.
又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB. 又ABCD是正方形，所以OF⊥AD. 因为PA＝PD＝
2aAD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝. 22以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， aaa
，0，0?，F?0，，0?，D?－，0，0?， 则A??2??2??2?aaa
0，0，?，B?，a，0?，C?－，a，0?. P?2???2??2?aaa
－，，?. 因为E为PC的中点，所以E??424?a―→
0，，0?， 易知平面PAD的一个法向量为OF＝??2?a―→a
，0，－?， 因为EF＝?4??4
aaa―→―→
0，，0?·?，0，－?＝0， 且OF·EF＝?4??2??4又因为EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD. a―→―→a
，0，－?，CD＝(0，－a,0)， (2)因为PA＝?2??2
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a―→―→a
，0，－?·(0，－a,0)＝0， 所以PA·CD＝?2??2―→―→
所以PA⊥CD，所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD＝D，PD，CD?平面PDC， 所以PA⊥平面PDC.
又PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
方法总结：(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素． (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题．
五、优化提升与真题演练
―→―→―→―→
1、已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A．必要不充分条件 C．充要条件
【答案】B
―→―→―→―→―→―→―→―→―→
【解析】当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO＝2OA－3(AB－AO)＋―→―→―→―→―→
2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2AC，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，―→―→―→―→―→―→―→
B，C四点共面时，根据共面向量定理，设AP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－OA)―→―→―→―→―→―→
＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－n)OA＋mOB＋nOC，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
―→―→―→
2、(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．下列结论正确的有( )
A．AP⊥AB B．AP⊥AD
―→
C.AP是平面ABCD的一个法向量 ―→―→D.AP∥BD 【答案】ABC
―→―→―→―→
【解析】对于A，AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，∴AP⊥AB，即AP⊥AB，A正确；对
B．充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
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―→―→―→―→―→―→于B，AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，∴AP⊥AD，即AP⊥AD，B正确；对于C，由AP⊥AB，―→―→―→―→
且AP⊥AD，得出AP是平面ABCD的一个法向量，C正确；对于D，由AP是平面ABCD的法向量，得―→―→
出AP⊥BD，则D错误．故选A、B、C.
3、(多选)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
―→―→―→―→A．(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3(A1B1)2 ―→―→―→
B.A1C·(A1B1－A1A)＝0
―→―→
C．向量AD1与向量A1B的夹角是60°
―→―→―→
D．正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD| 【答案】AB
―→―→―→―→―→2―→2
【解析】由向量的加法得到：A1A＋A1D1＋A1B1＝A1C，∵A1C2＝3A1B21，∴(A1C)＝3(A1B1)，所以A―→―→―→―→―→
正确；∵A1B1－A1A＝AB1，AB1⊥A1C，∴A1C·AB1＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C―→―→
＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量AD1与向量A1B的夹角是120°，故―→―→―→―→―→
C不正确；∵AB⊥AA1，∴AB·AA1＝0，故|AB·AA1·AD|＝0，因此D不正确．故选A、B.
4、如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
→
(1)求BN的模；
→→
(2)求cos〈BA1，CB1〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M.
【解析】 (1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立
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→
空间直角坐标系. 由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN|＝
（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3.
第3题图
(2)由题意得A1(1，0，2)， B(0，1，0)，C(0，0，0)，
→→
B1(0，1，2)，∴BA1＝(1，－1，2)，CB1＝(0，1，2)， →→→→
BA1·CB1＝3，|BA1|＝6，|CB1|＝5， →→
∴cos〈BA1，CB1〉＝ →→BA1·CB130＝.
→→10|BA1||CB1|
11?→11→
，，2，A1B＝(－1，1，－2)，C1M＝?，，0?， (3)由题意得C1(0，0，2)，M??22??22?11→→→→
∴A1B·C1M＝－＋＋0＝0，∴A1B⊥C1M，即A1B⊥C1M.
22
5、【2020年北京卷】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
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第44讲 空间向量的概念(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
