第44讲 空间向量的概念和空间位置关系
一、课程标准
1、空间向量的线性运算 2、共线、共面向量定理的应用 3、空间向量数量积的应用 4、利用空间向量证明平行或垂直 二、基础知识回顾
1．空间向量及其有关概念
概念 共线向量(平行向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 语言描述 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 平行于同一个平面的向量 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 空间向量基本定理及推论 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存―→―→―→―→在唯一的三个有序实数x，y，z，使 OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋y＋z＝1
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.
(2)空间向量的坐标运算：
向量和 向量差 数量积 共线 垂直 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 第 1 页 / 共 3 页
夹角公式
三、自主热身、归纳总结
cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b322222a21＋a2＋a3b1＋b2＋b3 1、空间四点A(2，3，6)，B(4，3，2)，C(0，0，1)，D(2，0，2)的位置关系为( )
A. 共线 B. 共面 C. 不共面 D. 无法确定 【答案】 C
→→→→→
【解析】 AB＝(2，0，－4)，AC＝(－2，－3，－5)，AD＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使AB＝λAC成→→→
立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设AD＝xAB＋yAC (x，y0＝2x－2y，??
为实数)，即?－3＝－3y，由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C.
??－4＝－4x－5y，2、已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于( )
33
A. B. －2 C. 0 D. 或－2 22【答案】B
【解析】 当m＝0时，a＝(1，3，－1)，b＝(2，0，0)，a与b不平行，∴m≠0，∵a∥b，
∴
2m＋13m－1
＝＝，解得m＝－2. 故选B. 2m－m
3、在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行
C. 异面 D. 相交但不垂直 【答案】B
→→→→→→
【解析】 由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD. 故选B.
―→―→―→
4、如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则向―→
量C1M可用a，b，c表示为________．
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11
【答案】－a－b－c
22
1―→1―→―→11―→―→―→―→1―→―→1―→―→
【解析】C1M＝C1C＋CM＝－AA1－AC＝－AA1－(AB＋AD)＝－AB－AD－AA1＝－a－b－
222222c.
5、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________． 【答案】垂直
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则―→―→―→―→
A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1，1,0)，N(2，1,2)，所以AM＝(－2,0,1)，ON＝(1,0,2)，AM·ON＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON.
―→3―→1―→―→
6、O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB＋tOC，若P，A，B，C四点共面，
48则实数t＝________. 1
【答案】 8
31
【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，
48
1
所以t＝.
8四、例题选讲
考点一 空间向量的线性运算
例1 (1) 向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是________．(填序号)
①a∥b，a∥c; ②a∥b，a⊥c； ③a∥c，a⊥b.
(2) 已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x，0，y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是____________． 【答案】（1） ③ （2） (－1，0，2)
【解析】（1） 因为c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.
→→→→→
（2） PA＝(－x，1，－y)，AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(2，0，1)．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，
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→→→→→→
PA⊥AC，即PA·AB＝x＋y－1＝0，PA·AC＝－2x－y＝0，所以x＝－1，y＝2，故点P的坐标是(－1，0，2)．
―→―→
变式1、（1）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，―→―→
AA1＝c，则下列向量中与BM相等的是( )
11
A．－a＋b＋c
2211
B.a＋b＋c 2211
C．－a－b＋c
2211
D.a－b＋c 22
―→―→―→―→
（2）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为( )
A．1,1 11C.， 1 22
【答案】（1）A（2）C
111―→―→―→―→1―→―→【解析】（1） BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222211―→―→―→―→1―→―→1→―→
（2）AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋―，故x＝，y＝. AB＋AD2222
1
B．1，
21D.，1 2
()
→→→
变式2、 在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用向量OA，OB，OC表→→示MG，OG.
→→→1→2→
【解析】 MG＝MA＋AG＝OA＋AN
231→2→→
＝OA＋(ON－OA) 231→21→→→＝OA＋[(OB＋OC)－OA] 2321→1→1→＝－OA＋OB＋OC.
633
→→→1→1→1→1→OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋OC
2633
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1→1→1→＝OA＋OB＋OC. 333
―→―→―→
变式3、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点．试用a，b，c表示以下各向量：
―→
(1)AP； ―→(2)A1N； ―→―→(3)MP＋NC1.
解：(1)∵P是C1D1的中点，
1―→1―→―→―→―→―→1―→
∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋b＋c.
222(2)∵N是BC的中点，
1―→―→―→―→―→
∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC
21―→1
＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.
22(3)∵M是AA1的中点，
1111―→―→―→1―→―→
a＋b＋c?＝a＋b＋c， ∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋??2222?21―→―→―→1―→―→1―→―→
又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝a＋c，
2221313―→―→11
a＋b＋c?＋?a＋c?＝a＋b＋c. ∴MP＋NC1＝??22??2?222
方法总结：本题考查空间向量基本定理及向量的线性运算. 用不共面的三个向量作为基向量表示某一向量时注意以下三点：(1)结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 考点二 共线、共面向量定理的应用
→→→
例2 如图所示，已知斜三棱柱ABC －A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM＝kAC1，BN＝→→→→
kBC (0≤k≤1). 判断向量MN是否与向量AB，AA1共面．
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第44讲 空间向量的概念(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
