立体几何新题型的解题技巧

立体几何新题型的解题技巧

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立体几何新题型的解题技巧

立体几何新题型的解题技巧

【命题趋向】

在高考中立体几何命题有如下特点:

1．线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系.

２.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现. ３.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题,填空题出现．

4．有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点. 此类题目分值一般在１7---２２分之间,题型一般为1个选择题，1个填空题，１个解答题． 【考点透视】

(A）版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念. (Ｂ）版.

①理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘．

②了解空间向量的基本定理,理解空间向量坐标的概念,掌握空间向量的坐标运算. ③掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式. ④理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面内的射影等概念. ⑤了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念. ⑥掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式． ⑦会画直棱柱、正棱锥的直观图．

空间距离和角是高考考查的重点:特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直线的距离,直线与平面的距离以及两异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角等作为命题的重点内容，高考试题中常将上述内容综合在一起放在解答题中进行考查,分为多个小问题,也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题，但也可能在最后一问中设置有难度的问题．

不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证，三算”的步骤来完成，即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色.

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题

例1(２007年福建卷理）如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点. （Ⅰ）求证:AB1⊥平面A1BD; (Ⅱ)求二面角A?A1D?B的大小； (Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离．

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的 大小,点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力．

解答过程：解法一:（Ⅰ）取BC中点O,连结AO.

△ABC为正三角形,?AO⊥BC.

A C B D B1A1 C1 A A1正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,

?AO⊥平面BCC1B1．

连结B1O,在正方形BB1C1C中,O，D分别为

BC，CC1的中点， ?B1O⊥BD， ?AB1⊥BD．

F CC D O B B 11在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， ?AB1⊥平面A1BD.

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,连结AF,由(Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．

?AF⊥A1D， ?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角.

在△AA1D中,由等面积法可求得AF?45，

5又AG?1AB1?2， ?sin∠AFG?AG?2?10. 2AF4545所以二面角A?A1D?B的大小为arcsin10．

4（Ⅲ）△A1BD中,BD?A1D?5，A1B?22，?S△ABD?6,S△BCD?1．

1在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3． 设点C到平面A1BD的距离为d． 由VA?BCD?VC?ABD,得1S△BCD11313?S△A1BDd，

3?d?3S△BCD2. ?S△A1BD2?点C到平面A1BD的距离为2. 2解法二：(Ⅰ)取BC中点O,连结AO．

△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

在正三棱柱ABC?A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,

?AD⊥平面BCC1B1.

取B1C1中点O1,以O为原点，OB,OO1,OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，3)，B1(1，0，0)，D(?112，0), ，，0)，A1(0，2，3),A(0，1，0)，BA，2，3)． ?AB1?(1，2，?3)，BD?(?2，1?(?1z A A1AB1BD??2?2?0?0，AB1BA1??1?4?3?0， ?AB1⊥BD，AB1⊥BA1．

?AB1⊥平面A1BD.

（Ⅱ)设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z).

AD?(?11，，?3),AA1?(0，2，0)．

n⊥AD，n⊥AA1,

F CC D O y B B x 11???x?y?3z?0，??y?0， ?nAD?0，???????2y?0，?nAA?0，????x??3z．?1令z?1得n?(?3，0，1)为平面A1AD的一个法向量． 由(Ⅰ)知AB1⊥平面A1BD,