?=?????， ∵????
∴∠HAC=∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CH=CE， ∵AC=AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL）， ∴AE=AH，
∵CH=CE，CD=CB， ∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL）， ∴DH=BE=2， ∴AE=AH=2+2=4， ∴AB=4+2=6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠BEC=90°， ∵∠EBC=∠ABC， ∴△BEC∽△BCA， ∴????=????，
2=12， ∴BC2=AB?BE=6×∴BF=BC=2√3． 【解析】
????
????
（1）根据AAS证明：△BFG≌△CDG；
（2）如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），得AE=AH，再证明Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），得DH=BE=2，计算AE和AB的长，证明△BEC∽△BCA，列比例式可得BC的长，就是BF的长． 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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24.【答案】解：（1）将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平
移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2， ∵OA=1，
∴点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0， ∴??=2，
∴抛物线的解析式为y=2(???1)2?2，即y=2??2????2． 令y=0，解得x1=-1，x2=3， ∴B（3，0）， ∴AB=OA+OB=4， ∵△ABD的面积为5， ∴??△??????=2?????????=5，
∴yD=2，代入抛物线解析式得，2=2??2????2， 解得x1=-2，x2=4， ∴D（4，2），
设直线AD的解析式为y=kx+b， ??=4??+??=22
∴{，解得：{1，
??=???+??=0
5
21
55
5
1
3
1
1
1
3
1
∴直线AD的解析式为y=2??+2．
??2????）??+）（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，，则M（a，， 2222
1
3
1
1
11
∴????=2??+2?2??2+??+2=?2??2+2??+2，
∴S△ACE=S△AME-S△CME=2×?????1=2(?2??2+2??+2)×1=?4(??2?3???4)， =?(???)2+，
4216
∴当a=2时，△ACE的面积有最大值，最大值是16，此时E点坐标为（2，?
3
25
3
158
1
3
25
1
1
1
3
1
111313
）．
（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交
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轴于点P，
∵E（2，?
35
3158
），OA=1，
15
∴AG=1+2=2，EG=8， ∴????=
????
52158=， 3
4
∵∠AGE=∠AHP=90°∴sin∠??????=
3
????????
=
????
=， ????5
3
∴????=5????， ∵E、F关于x轴对称， ∴PE=PF，
∴PE+5AP=FP+HP=FH，此时FH最小， ∵EF=8×2=
15
154
3
，∠AEG=∠HEF，
????????
4
∴??????∠??????=??????∠??????=????=????=5， ∴????=5×
34
154
=3．
∴PE+5PA的最小值是3． 【解析】
（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（-1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；
（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由
S△ACE=S△AME-S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
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（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交轴于点P，则∠BAE=∠HAP=∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠CAB=45°，
∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，
∴∠FDE=∠DFE=45°， ∴∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形； （2）设OE=t，连接OD， ∴∠DOE=∠DAF=90°， ∵∠OED=∠DFA， ∴△DOE∽△DAF， ∴
????????
=
????????
=
√2
， 2
∴????=√2t，
又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，
∴△AEF∽△ADG， ∴????=????，
∴?????????=?????????=4√2??， 又∵AE=OA+OE=2√2+t， ∴????=
24√2??， √2+??????
????
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∴EG=AE-AG=??2+82√2+??，
+45°=90°当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°， ∴△ADF∽△BFH， ∴
????????
=
????????
=
4?√2??4
，
∵AF∥CD， ∴∴∴
????????????
==
????????
=
√2??
， 4
????
√2??， 4+√2??4?√2??4
=4+√2??， √2??解得：t1=√10?√2，t2=√10+√2（舍去）， ∴EG=EH=??2+82√=2+??(√10?√2)2+82√2+√10?√2=3√10?5√2；
（3）过点F作FK⊥AC于点K， 由（2）得EG=??2+82√2+??，
∵DE=EF，∠DEF=90°， ∴∠DEO=∠EFK，
∴△DOE≌△EKF（AAS）， ∴FK=OE=t， ∴S△??????=2?????????=【解析】
1
??3+8??2√2+??．
（1）由正方形的性质可得∠DAC=∠CAB=45°，根据圆周角定理得，则结论得证； ∠FDE=∠DFE=45°
（2）设OE=t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF=可得AG=
，证明△AEF∽△ADG
，求出t
，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段
的值，代入EG的表达式可求EH的值； （3）由（2）知EG=即可求解．
本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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，过点F作FK⊥AC于点K，根据
2019年中考数学试卷(word版,含答案) (54)
