2019年
【2019最新】精选高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第4讲导数
与函数的切线及函数零点问题练习理
一、选择题
1.曲线y＝xex＋1在点(0，1)处的切线方程是( ) A.x－y＋1＝0 C.x－y－1＝0
B.2x－y＋1＝0 D.x－2y＋2＝0
解析 y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，
y′|x＝0＝1，∴所求切线方程为：x－y＋1＝0.
答案 A
2.(2016·南昌模拟)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( ) A. C.
B. D.1
的切线斜率ky＝0和y＝x＝x的交点为
解析 因为y′＝－2e－2x，∴曲线在点(0，2)处＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与yA，所以三角形面积S＝×1×＝. 答案 A
3.(2016·洛阳模拟)曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为( ) A.2
B.－2
2019年
C.
D.－2 1解析 依题意得y′＝1＋ln x，y′|x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，所以a＝2，故选A. 答案 A
4.已知y＝f(x)为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若g(x)＝f(x)＋，则函数g(x)的零点个数为( ) A.1 C.0
B.2 D.0或2
解析 令h(x)＝xf(x)，因为当x≠0时，＞0，所以＞0，因此当x＞0时，h′(x)＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，又h(0)＝0，易知当x≠0时，h(x)＞0，又g(x)＝，所以g(x)≠0，故函数g(x)的零点个数为0. 答案 C
5.已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( ) A.f(a)＜f(1)＜f(b) C.f(1)＜f(a)＜f(b)
B.f(a)＜f(b)＜f(1) D.f(b)＜f(1)＜f(a)
解析 由题意，知f′(x)＝ex＋1＞0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；由题意，知g′(x)＝＋1＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0， 所以函数g(x)的零点b∈(1，2). 综上，可得0＜a＜1＜b＜2.
因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b).
2019年
答案 A 二、填空题
6.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
解析 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
答案 2x＋y＋1＝0
7.函数f(x)＝x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是________.
解析 f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1，3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝＞0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3. 答案 3
8.(2016·济南模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________.
解析 由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0. 答案 (－4，0) 三、解答题
9.(2016·武汉模拟)已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
2020高考数学二轮复习专题一函数与导数不等式第4讲导数与函数的切线及函数零点问题练习理
