【思路导航】要求用七个数字组成五个数,这五个数有三个是一位数,有两个是两位数。显然,方格中的数和被除数是两位数,其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式,也不能做除数。由于2〓6=12(2将出现两次),2〓5=10(经试验不合题意),2〓4=8(7个数字中没有8),2〓3=6(6不能成为商)。因此,0、1、2只能用来组成两位数。经试验可得:3〓4=12=6=〔5.
练习4:(1)将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里,每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。 ○〓○=□=○〔○
(2)填入1、2、3、4、7、9,使等式成立。 □〔□=□〔□
(3)用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式:(1+3)〓7=28。请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。
【例题5】把“+、-、〓、〔”分别放在适当的圆圈中(运算符号只能用一次),并在方框中填上适当的数,使下面的两个等式成立。36○0○15=15 21○3○5=□
【思路导航】先从第一个等式入手,等式右边是15,与等式左边最后一个数15相同,因为0+15=15,所以,只要使36与0的运算结果为0就行。显然,36〓0+15=15
因为第一个等式已填“〓”、“+”,在第二个等式中只有“-”、“〔”可以填,题目要求在方框中填整数,已知3不能被5整除,所以“〔”只能填在21与3之间,而3与5之间填“-”。
练习5:(1)把“+、-、〓、〔”分别填入下面的圆圈中,并在方框中填上适当的整数,使下面每组的两个等式成立。 ① 9○13○7=100 14○2○5=□
② 17○6○2=100 5○14○7=□
(2)将1~9这九个数字填入□中(每个数字只能用一次),组成三个等式。 □+□=□ □-□=□ □〓□=□
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第6讲 算式谜(二)
一、知识要点
解决算式谜题,关键是找准突破口,推理时应注意以下几点:
1.认真分析算式中所包含的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特征的部分作出局部判断;
2.利用列举和筛选相结合的方法,逐步排除不合理的数字;
3.试验时,应借助估值的方法,以缩小所求数字的取值范围,达到快速而准确的目的;
4.算式谜解出后,要验算一遍。 二、精讲精练
【例题1】 在下面的方框中填上合适的数字。
【思路导航】由积的末尾是0,可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5,并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑,可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0,可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
练习1:
在□里填上适当的数。
【例题2】在下面方框中填上适合的数字。
【思路导航】由商的十位是1,以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一次除后余下的数是1,可推知被除数的十位只可能是7、8、9。如果是7,除数的个位是0,那么最后必有余数;如果被除数是8,除数的个位就是1,也不能除尽;只有当被除数的十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6,正好除尽。完整的竖式是:
练习2:在□内填入适当的数字,使下列除法竖式成立。
【例题3】下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?
【思路导航】因为四位数abcd乘9的积是四位数,可知a是1;d和9相乘的积的个位是1,可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位,所以b只能是0(1已经用过);再由b=0,可推知c=8。
练习3:
求下列各题中每个汉字所代表的数字。
= 红 = 柳 = 绿 = 花华 = 罗 = 庚 = 金 = 杯 =
【例题4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“+、-”两种运算盼 = 望 = 祖 = 国 = 早 = 日 = 统 = 一 = 符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
【思路导航】先凑出与100比较接近的数,再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
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比如:123与100比较接近,所以把前三个数字组成123,后面的数字凑出23就行。因为45与67相差22,8与9相差1,所以得到一种解法:123+45-67+8-9=100
再比如:89与100比较接近,78与67正好相差11,所此可得另一种解法:123+45-67+8-9=100.
练习4::(1)在下面等号左边的数字之间添上一些加号,使其结果等于99(数字的顺序不能改变)。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99
(2)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
(3)添上适当的运算符号和括号,使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100 【例题5】在下面的式子里添上括号,使等式成立。 7〓9+12〔3-2 = 23
【思路导航】采用逆推法,从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减2,那么前面式子的运算结果应等25,又因为25〓3=75,而前面7〓9+12又正好等于75,所以,应给前面两步运算加括号。 (7〓9+12)〔3-2 = 23
练习5:
1.在下面的式子里添上括号,使等式成立。
(1)7〓9+12〔3-2 = 75(2)7〓9+12〔3-2 = 47(3)88+33-11〔11〓2 = 5 2.在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“+、-”两种运算符号,使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。
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第7讲 最优化问题
一、知识要点
在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练
【例题1】 用一只平底锅煎饼,每次只能放两个,剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)。问煎3个饼至少需要多少分钟?
【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎,一分钟后两个饼都熟了一面,这时可将一个取出,另一个翻过去,再放入第三个。又煎了一分钟,将两面都熟的那个取出,把第三个翻过去,再将第一个放入煎,再煎一分钟就会全部煎好。所以,煎3个饼至少需要3分钟。
练习1:
1.烤面包时,第一面需要2分钟,第二面只要烤1分钟,即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子,一次只能放两片面包,她每天早上吃3片面包,至少要烤多少分钟?
2.用一只平底锅烙大饼,锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟,现在要烙3个大饼,最少要用几分钟?
3.小华用平底锅烙饼,这只锅同时能放4个大饼,烙一个要用4分钟(每面各需要2分钟)。可小华烙6个大饼只用了6分钟,他是怎样烙的?
【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟,烧开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少分钟?
【思路导航】经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。
根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟。
练习2:
1.小虎早晨要完成这样几件事:烧一壶开水需要10分钟,把开水灌进热水瓶需要2分钟,取奶需要5分钟,整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟?
2.小强给客人沏茶,烧开水需要12分钟,洗茶杯要2分钟,买茶叶要8分钟,放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶,你认为最合理的安排,多少分钟就可以了?
3.在早晨起床后的1小时内,小欣要完成以下事情:叠被3分钟,洗脸刷牙8分钟,读外语30分钟,吃早餐10分钟,收碗擦桌5分钟,收听广播30分钟。最少需要多少分钟?
【例题3】五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等候校医治病。赵明打针需要5分钟,孙勇包纱布需要3分钟,李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同学的治病次序,才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短?
【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗,才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟,赵1+3=4分钟,赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。
练习3:
1.甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个,怎样安排他们打水的次序,可以使他们打热水所花的总时间最少?
2.甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务,甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排,使3人所花的时间最少?最少时间是多少?
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3.甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水,甲洗托把需要3分钟,乙洗抹布需要2分钟,丙洗衣服需要10分钟,丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序,使他们所花的总时间最少?最少时间是多少?
【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少?
【思路导航】根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是18〔2=9厘米。显然,当长与宽的差越小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数,因此,当长是5厘米,宽是4厘米时,围成的长方形的面积最大:5〓4=20平方厘米。
练习4:
1.用长26厘米的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数,围成的长方形的面积最大是多少?
2.一个长方形的周长是20分米,它的面积最大是多少?
3.一个长方形的面积是36平方厘米,并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米?
【例题5】用3~6这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。 【思路导航】解决这个问题应考虑两点:(1)尽可能把大数放在高位;(2)尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位,4和3放在个位。根据“两个因数的差越小,积越大”的规律,3应放在6的后面,4应放在5的后面。63〓54=3402.
练习5:
1.用1~4这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。 2.用5~8这四个数字分别组成两个两位数,使这两个两位数的乘积最大。 3.用3~8这六个数字分别组成两个三位数,使这两个三位数的乘积最大。
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小学奥数举一反三(四年级)全
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