求解倍角与分角所在象限的策略
例 （1）已知?是锐角，那么2?是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C小于1800的正角 D第一或第二象限角 （2）已知?是第一象限角，那么
?是（ ） 2A第一象限角 B第二象限角
C第一或第二象限角 D第一或第三象限角 分析：已知条件?所在角情况，确定?的倍角n?或分角型，我们可以根据已知直接法求解。
解：（1）因为?是锐角，所以0???90，所以0?2??180，所以选择C。 （2）因为?是第一象限角，所以所以2k????故k??00?所在象限，是一种重要题n?2?2k?,k?Z，
?2??4?k?,k?Z，k的取值有两种情形：奇数和偶数。
当k为奇数时，可设k?2m?1(m?Z)，则有2m????此时
?2?5??2m?,m?Z，4?是第三象限的角 ； 2当k为偶数时，可设k?2m(m?Z)，则有2m??第一象限的角。
综上，
?2????2m?,m?Z，此时是42?是第一、第三象限的角，故选C. 2点评：第一题任意忽视终边在y轴正半轴，错误选择D这个答案；第二问重点是考查分类讨论思想，正确对实际问题分类讨论是关键；根据?的象限把
?n(n?N?)表示出来后，
要对k进行分类讨论，k一般按nm，nm＋1，nm＋2，…，nm＋（n－1）(m?Z)分成n类，如
?就要把k分成k＝3m，k＝3m＋1，k＝3m＋2(m?Z)三类来求解。 3子题一：已知?是第二象限的角，试求：
??（1）所在的象限；（2）所在的象限。
23分析：本题与教材第二题几乎完全相同，所以可以直接求解，解法如下： 解：（1）因为?是第二象限的角，所以2k??所以k???2???2k???,k?Z，
?4??2?k???2,k?Z，
?是第一象限的角；
42225??3??当k?2m?1(m?Z)时，2m??，因此是第三象限角， ??2m??4222?综上可知是第一或第三象限角。
22??2?（2）同理可求得k????k??,k?Z，
36333????当k?3m(m?Z)时，2m????2m??,此时是第一象限角；
6333?2??2当k?3m?1(m?Z)时，2m??????2m????，
633335???即2m????2m???，此时是第二象限角；
6333?5??当k?3m?2(m?Z)时，2m????，此时是第四象限角. ?2m??2333?综上，可知是第一、第二、第四象限角。
3??点评：已知单角?所在的象限，求,等角的范围问题时，通常先把?角的范围用
23故当k?2m(m?Z)时，2m??????2m???，因此
不等式表示出来，再利用不等式的性质得。如果作为一道选择题或填空题如果这样处理，显得解题过程非常复杂，有没有更快捷方法解决这类问题哪？
利用等分象限法判断
?所在的象限，可先将各个象限n等分，从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针 n方向依次重复标注数码1，2，3，4，直到将所有区域标定完为上。如果?在第几象限，??则就在图中标号为几的区域内。如图1所示，将各象限2等分，若?在第一象限，则n2?就在图中标号为1的区域内，即一、三象限的前半区域，如图2，若?在第三象限，则就
3求
在图中标号为3的区域内，即一、三、四象限，依此类推。
即如下图表：我们可以通过分类讨论总结出用于解决选择题或填空题的常用结论：
?所在象限 ?所在象限 2 ?所在象限 3 一 二 一、三 一、三 一、二、三 一、二、四 三 四 二、四 二、四 一、三、四 二、三、四 子题二：已知?是第二象限角，试确定2?所在的象限？ 解：因为?是第二象限角，所以2k???2???2k???,k?Z，
所以4k????2??4k??2?,k?Z，故2?是第三或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角。
点评：2?的终边在y轴负半轴上是同学们易忽视的。作为倍角问题，也可以利用下面结论进行快速求解。
图表判断法：
已知?为某象限角，如何确定n?(k?N,n?1)所在的象限？如果?为第一象限角，则 有2k????2k???2(k?Z)，当n＝2时，4k??2??4k???(k?Z)，2?为第一、
第二象限的角或终边落在y轴非负半轴上的角。同理可得，当?分别为第二、第三、第四象限的角时，2?的终边所在的位置结果如下表： 角?所在象限 一 二 三 四 角2?的终边所在的位置 一、二、y轴非负半轴 三、四、y轴非正半轴 一、二、y轴非负半轴 三、四、y轴非正半轴 类似地，可得出n＝3，4，…时，角n?的终边所在的位置，特别地，当n?5时，角n?的终边可以落在任何位置上。
对应教材中习题的挖掘和探究，是巩固基础、提升能力、开阔视野的重要途径，所以我们要认真研究教材，不仅会做，还要会想、会变，这样就能够跳出题海，举一反三。
求解倍角与分角所在象限的策略
