求解倍角与分角所在象限的策略
例 (1)已知?是锐角,那么2?是( ) A第一象限角 B第二象限角 C小于1800的正角 D第一或第二象限角 (2)已知?是第一象限角,那么
?是( ) 2A第一象限角 B第二象限角
C第一或第二象限角 D第一或第三象限角 分析:已知条件?所在角情况,确定?的倍角n?或分角型,我们可以根据已知直接法求解。
解:(1)因为?是锐角,所以0???90,所以0?2??180,所以选择C。 (2)因为?是第一象限角,所以所以2k????故k??00?所在象限,是一种重要题n?2?2k?,k?Z,
?2??4?k?,k?Z,k的取值有两种情形:奇数和偶数。
当k为奇数时,可设k?2m?1(m?Z),则有2m????此时
?2?5??2m?,m?Z,4?是第三象限的角 ; 2当k为偶数时,可设k?2m(m?Z),则有2m??第一象限的角。
综上,
?2????2m?,m?Z,此时是42?是第一、第三象限的角,故选C. 2点评:第一题任意忽视终边在y轴正半轴,错误选择D这个答案;第二问重点是考查分类讨论思想,正确对实际问题分类讨论是关键;根据?的象限把
?n(n?N?)表示出来后,
要对k进行分类讨论,k一般按nm,nm+1,nm+2,…,nm+(n-1)(m?Z)分成n类,如
?就要把k分成k=3m,k=3m+1,k=3m+2(m?Z)三类来求解。 3子题一:已知?是第二象限的角,试求:
??(1)所在的象限;(2)所在的象限。
23分析:本题与教材第二题几乎完全相同,所以可以直接求解,解法如下: 解:(1)因为?是第二象限的角,所以2k??所以k???2???2k???,k?Z,
?4??2?k???2,k?Z,
?是第一象限的角;
42225??3??当k?2m?1(m?Z)时,2m??,因此是第三象限角, ??2m??4222?综上可知是第一或第三象限角。
22??2?(2)同理可求得k????k??,k?Z,
36333????当k?3m(m?Z)时,2m????2m??,此时是第一象限角;
6333?2??2当k?3m?1(m?Z)时,2m??????2m????,
633335???即2m????2m???,此时是第二象限角;
6333?5??当k?3m?2(m?Z)时,2m????,此时是第四象限角. ?2m??2333?综上,可知是第一、第二、第四象限角。
3??点评:已知单角?所在的象限,求,等角的范围问题时,通常先把?角的范围用
23故当k?2m(m?Z)时,2m??????2m???,因此
不等式表示出来,再利用不等式的性质得。如果作为一道选择题或填空题如果这样处理,显得解题过程非常复杂,有没有更快捷方法解决这类问题哪?
利用等分象限法判断
?所在的象限,可先将各个象限n等分,从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针 n方向依次重复标注数码1,2,3,4,直到将所有区域标定完为上。如果?在第几象限,??则就在图中标号为几的区域内。如图1所示,将各象限2等分,若?在第一象限,则n2?就在图中标号为1的区域内,即一、三象限的前半区域,如图2,若?在第三象限,则就
3求
在图中标号为3的区域内,即一、三、四象限,依此类推。
即如下图表:我们可以通过分类讨论总结出用于解决选择题或填空题的常用结论:
?所在象限 ?所在象限 2 ?所在象限 3 一 二 一、三 一、三 一、二、三 一、二、四 三 四 二、四 二、四 一、三、四 二、三、四 子题二:已知?是第二象限角,试确定2?所在的象限? 解:因为?是第二象限角,所以2k???2???2k???,k?Z,
所以4k????2??4k??2?,k?Z,故2?是第三或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角。
点评:2?的终边在y轴负半轴上是同学们易忽视的。作为倍角问题,也可以利用下面结论进行快速求解。
图表判断法:
已知?为某象限角,如何确定n?(k?N,n?1)所在的象限?如果?为第一象限角,则 有2k????2k???2(k?Z),当n=2时,4k??2??4k???(k?Z),2?为第一、
第二象限的角或终边落在y轴非负半轴上的角。同理可得,当?分别为第二、第三、第四象限的角时,2?的终边所在的位置结果如下表: 角?所在象限 一 二 三 四 角2?的终边所在的位置 一、二、y轴非负半轴 三、四、y轴非正半轴 一、二、y轴非负半轴 三、四、y轴非正半轴 类似地,可得出n=3,4,…时,角n?的终边所在的位置,特别地,当n?5时,角n?的终边可以落在任何位置上。
对应教材中习题的挖掘和探究,是巩固基础、提升能力、开阔视野的重要途径,所以我们要认真研究教材,不仅会做,还要会想、会变,这样就能够跳出题海,举一反三。
求解倍角与分角所在象限的策略
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