2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么P(AUB)?P(A)?P(B) .
如果事件A，B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B) .
棱柱的体积公式V?Sh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高. 棱锥的体积公式V?1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 3
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，集合A?{x0?x?2}，B?{xx?1}，则AI(eRB)? （ ） (A) {x0?x?1} (B) {x0?x?1} (C) {x1?x?2} (D) {x0?x?2} 1．【答案】B
【解析】由题意可得eRB??xx?1?，结合交集的定义可得AI?eRB???0?x?1?， 故选B．
?x?y?5,?2x?y?4,?(2)设变量x，y满足约束条件? 则目标函数z?3x?5y的最大值为（ ）
??x?y?1,??y?0,(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
2．【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
?x?y?5联立直线方程：?，可得点A的坐标为A?2,3?，
??x?y?1据此可知目标函数的最大值为zmax?3x?5y?3?2?5?3?21，故选C．
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为 （(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
3．【答案】B
【解析】结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据：N?20，i?2，T?0， Ni?202?10，结果为整数，执行T?T?1?1，i?i?1?3，此时不满足i?5； N20i?3，结果不为整数，执行i?i?1?4，此时不满足i?5； Ni?204?5，结果为整数，执行T?T?1?2，i?i?1?5，此时满足i?5； 跳出循环，输出T?2，故选B．
(4)设x?R，则“|x?12|?12”是“x3?1”的 （ ） ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4．【答案】A
【解析】绝对值不等式x?11111????x???0?x?1， 2222211?是x3?1的充分而不必要条件．故选A． 22由x3?1?x?1，据此可知x?
(5)已知a?log2e，b?ln2，c?log1(A) a?b?c
1，则a，b，c的大小关系为 （ ） 32(B) b?a?c (C) c?b?a (D) c?a?b
5．【答案】D
【解析】由题意结合对数函数的性质可知：
11??0,1?，c?log1?log23?log2e， a?log2e?1，b?ln2?3log2e2据此可得c?a?b，故选D．
(6)将函数y?sin(2x?)的图象向右平移
?53?5?,]上单调递增 445?3?(C)在区间[,]上单调递增
42(A)在区间[?个单位长度，所得图象对应的函数 103? (B)在区间[,?]上单调递减
43? (D)在区间[,2?]上单调递减
26．【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：
π??π将y?sin?2x??的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
5?10???π?y?sin?2?x???10???π??sin2x， 5??ππ?2x?2kπ??k?Z?， 22则函数的单调递增区间满足：2kπ?即kπ?ππ?x?kπ??k?Z?， 44?3π5π?令k?1可得一个单调递增区间为?,?，
?44?π3π函数的单调递减区间满足：2kπ??2x?2kπ??k?Z?，
22π3π即kπ??x?kπ??k?Z?，
44?5π7π?令k?1可得一个单调递减区间为?,?，故选A．
?44?
x2y2(7)已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双
ab曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1?d2?6，
则双曲线的方程为 （ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 (B) ??1 (C) ??1 (D) ??1 (A)
41212439937．【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为F?c,0??c?0?，则xA?xB?c， ?b2??b2?c2y2b2由2?2?1可得y??，不妨设A?c,?，B?c,??，
a?aab?a??双曲线的一条渐近线方程为bx?ay?0，
bc?b2bc?b2bc?b2据此可得d1?，d2?， ??2222cca?ba?b2bc则d1?d2??2b?6，则b?3，b2?9，
ccb29双曲线的离心率为e??1?2?1?2?2，
aaax2y22据此可得a?3，则双曲线的方程为??1，故选C．
39
(8)如图，在平面四边形ABCD中，AB?BC，AD?CD，?BAD?120?，AB?AD?1.
bc?b2uuuruur若点E为边CD上的动点，则AE?BE的最小值为 （ ）
21325(A) (B) (C) (D) 3
162168．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
?3??3?1???3?0,?，D?则A?0,??，B??2,0??，C???2,0??， 2?2???????
uuuruuur点E在CD上，则DE??DC?0???1?，设E?x,y?，则：
?33x??????33?3??22， ??x?2,y??????2,2??，即?3?????y????2uuur?3r?3?333?331?uuu3?据此可得E??2??2,2???，且AE???2??2,2??2??，BE???2??3,2???，
??????由数量积的坐标运算法则可得： uuuruuur?3?33??31??3AE?BE??????3??????????， ?2??2?2222??????uuuruuur3整理可得：AE?BE?4?2?2??2?0???1?，
4uuuruuur121结合二次函数的性质可知，当??时，AE?BE取得最小值，故选A．
164
??
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 (9) i是虚数单位，复数9．【答案】4?i
【解析】由复数的运算法则得：
(10) 在(x?6?7i?6?7i??1?2i?20?5i???4?i． 1?2i?1?2i??1?2i?56?7i? . 1?2i12x)5的展开式中，x2的系数为 .
510．【答案】
21??1?r5?2rr5?r?x??【解析】结合二项式定理的通项公式有：Tr?1?C5， ?????C5x2??2x??53?1?21??10?． 令5?r?2可得r?2，则x2的系数为???C5422?2?
(11) 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心
2rr3分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M?EFGH的体积为 .
11．【答案】
1 12
【解析】由题意可得，底面四边形EFGH为边长为其面积SEFGH?2?1， ?????2?2??22的正方形， 2顶点M到底面四边形EFGH的距离为d?由四棱锥的体积公式可得VM?EFGH
1， 21111????． 32212??x??1??22(12)已知圆x?y?2x?0的圆心为C，直线??y?3???两点，则△ABC的面积为 .
112．【答案】
2【解析】由题意可得圆的标准方程为?x?1??y2?1，
22t,2(为参数)与该圆相交于A，B
t2t2直线的直角坐标方程为y?3???x?1?，即x?y?2?0， 则圆心到直线的距离为d?1?0?22?22， 2?2?由弦长公式可得AB?2?1???2???2，
??121则S△ABC??2??．
222
(13)已知a,b?R，且a?3b?6?0，则2?a1的最小值为 . 8b113．【答案】
4【解析】由a?3b?6?0可知a?3b??6，
且2a?1a?3bxx，因为对于任意，?2?22?0恒成立，
8b1结合均值不等式的结论可得2a?2?3b?2?2a?2?3b?2?2?6?，
4?2a?2?3b?a?31?1当且仅当?，即?时等号成立．综上可得2a?b的最小值为．
48??b??1?a?3b?6
?x2?2ax?a,x?0,(14)已知a?0，函数f(x)??2若关于x的方程f(x)?ax恰有2个互
?x?2ax?2a,x?0.?异的实数解，则a的取值范围是 .
14．【答案】?4,8?
【解析】分类讨论：当x?0时，方程f?x??ax即x2?2ax?a?ax， 整理可得x2??a?x?1?，
x2很明显x??1不是方程的实数解，则a??，
x?1当x?0时，方程f?x??ax即?x2?2ax?2a?ax，
整理可得x2?a?x?2?，
x2很明显x?2不是方程的实数解，则a?，
x?2?x2,x?0??x21x24?x?1?????x?1??2?，令g?x???2，其中??x?2??4 x?1x?1x?2x?2??x?,x?0??x?2原问题等价于函数g?x?与函数y?a有两个不同的交点，求a的取值范围．
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g?x?的图象， 同时绘制函数y?a的图象如图所示，考查临界条件， 结合a?0观察可得，实数a的取值范围是?4,8?．
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA?acos(B?). （I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和sin(2A?B)的值.
?6
33π；（2）b?7，sin?2A?B??．
143ab【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，可得bsinA?asinB， ?sinAsinBπ?π???又由bsinA?acos?B??，得asinB?acos?B??，
6?6???π??即sinB?cos?B??，可得tanB?3．
6??π又因为B??0,π?，可得B?．
3π（2）在△ABC中，由余弦定理及a?2，c?3，B?，
3有b2?a2?c2?2accosB?7，故b?7．
3π?2?由bsinA?acos?B??，可得sinA?．因为a?c，故cosA?．
6?77?15．【答案】（1）
431，cos2A?2cos2A?1?， 774311333所以，sin?2A?B??sin2AcosB?cos2AsinB?． ????727214
(16)(本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率. 16．【答案】（1）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
6
（2）①答案见解析；②．
因此sin2A?2sinAcosA?【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （2）（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
3?kCk4?C3P?X?k???k?0,1,2,3?．
C37所以，随机变量X的分布列为 7
X P 0 1 2 3 1 3512 3518 354 3511218412?1??2??3??． 353535357（2）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”； 事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”， 则A?BUC，且B与C互斥， 随机变量X的数学期望E?X??0?
由（1）知，P?B??P?X?2?，P?C??P?X?1?， 故P?A??P(BUC)?P?X?2??P?X?1??所以，事件A发生的概率为
6． 76． 7
(17)(本小题满分13分)
如图，AD∥BC且AD=2BC，AD?CD,EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，
DG?平面ABCD，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； （II）求二面角E?BC?F的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
103；（3）．
310【解析】依题意，可以建立以D为原点，
uuuruuuruuur分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），
17．【答案】（1）证明见解析；（2）可得D?0,0,0?，A?2,0,0?，B?1,2,0?，C?0,2,0?， ?3?E?2,0,2?，F?0,1,2?，G?0,0,2?，M?0,,1?，N?1,0,2?．
?2? uuuruuur（1）依题意DC??0,2,0?，DE??2,0,2?．
uuur??n?DC?0?2y?0设n0??x,y,z?为平面CDE的法向量，则?0uuu即?， r2x?2z?0??n0?DE?0?不妨令z?–1，可得n0??1,0,?1?．
uuuuruuuur?3?MN?n0?0， 又MN??1,-,1?，可得
2??又因为直线MN?平面CDE，所以MN∥平面CDE．
uuuruuuruuur（2）依题意，可得BC??–1,0,0?，BE??1,?2,2?，CF??0,?1,2?．
uuur??x?0n?BC?0??设n??x,y,z?为平面BCE的法向量，则?uuu即， r?x?2y?2z?0??n?BE?0?不妨令z?1，可得n??0,1,1?．
uuur??m?BC?0??x?0设m??x,y,z?为平面BCF的法向量，则?uuu即?， r?y?2z?0??m?BF?0?不妨令z?1，可得m??0,2,1?．
因此有cos?m,n??m?n31010?，于是sin?m,n??． mn101010． 10（3）设线段DP的长为h?h??0,2??，则点P的坐标为?0,0,h?，
uuuruuur可得BP???1,?2,h?．易知，DC??0,2,0?为平面ADGE的一个法向量，
uuuruuurBP?DCuuuruuur2故cos?BP?DC??uuu， ruuur?2BPDCh?5所以，二面角E–BC–F的正弦值为由题意，可得2h2?5?sin60??33，解得h???0,2?． 23所以线段DP的长为3． 3
(18)(本小题满分13分)
?设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n?N)，{bn}是等差数列. 已知
a1?1，a3?a2?2，a4?b3?b5，a5?b4?2b6.
（I）求{an}和{bn}的通项公式；
?（II）设数列{Sn}的前n项和为Tn(n?N)，
（i）求Tn；
(Tk?bk?2)bk2n?2??2(n?N?). （ii）证明?n?2k?1(k?1)(k?2)n18．【答案】（1）an?2n?1，bn?n；（2）①Tn?2n?1?n?2；②证明见解析． 【解析】（1）设等比数列?an?的公比为q．由a1?1，a3?a2?2， 可得q2?q?2?0因为q?0，可得q?2，故an?2n?1， 设等差数列?bn?的公差为d，由a4?b3?b5，可得b1?3d?4， 由a5?b4?2b6，可得3b1?13d?16，从而b1?1，d?1，故bn?n， 所以数列?an?的通项公式为an?2n?1，数列?bn?的通项公式为bn?n． 1?2n（2）①由（1），有Sn??2n?1，
1?2故Tn???k?1n2?1?k??k?1n2?n?k2?1?2n1?2???n?2n?1?n?2，
Tk?bk?2?bk?2?k?2?k?2?k?k?2k?12k?22k?1②因为， ?????k?1??k?2??k?1??k?2??k?1??k?2?k?2k?1n?2n?22n?1?2n?2?Tk?bk?2?bk?2322??2423??????????L????2． 所以???k?1k?23243n?2n?1n?2??????????k?1k?1
(19)(本小题满分14分)
5x2x2设椭圆2?2?1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A
3ab的坐标为(b,0)，且FB?AB?62.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：y?kx(k?0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若
AQPQ?52sin?AOQ(O为原点) ，求k的值. 4x2y211119．【答案】（1）?（2）或． ?1；
94228c25【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知有2?，
9a又由a2?b2?c2，可得2a?3b．由已知可得，FB?a，AB?2b，
由FB?AB?62，可得ab?6，从而a?3，b?2． x2y2所以，椭圆的方程为??1．
94（2）设点P的坐标为?x1,y1?，点Q的坐标为?x2,y2?．
由已知有y1?y2?0，故PQsin?AOQ?y1?y2． 又因为AQ?由AQPQ?y2π，而?OAB?，故AQ?2y2．
sin?OAB452sin?AOQ，可得5y1?9y2． 4?y?kx6k?由方程组?x2y2消去x，可得y1?．
2?19k?4??4?9易知直线AB的方程为x?y–2?0，
?y?kx2k由方程组?消去x，可得y2?．
x?y?2?0k?1?由5y1?9y2，可得5?k?1??39k2?4，
两边平方，整理得56k2?50k?11?0， 111111解得k?，或k?．所以，k的值为或．
222828
(20)(本小题满分14分)
已知函数f(x)?a，g(x)?logax，其中a>1.
x
（I）求函数h(x)?f(x)?xlna的单调区间；
（II）若曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y?g(x)在点(x2,g(x2)) 处的切线平行，证明x1?g(x2)??1e2lnlna； lna（III）证明当a?e时，存在直线l，使l是曲线y?f(x)的切线，也是曲线y?g(x)的切线. 20．【答案】（1）单调递减区间???,0?，单调递增区间为?0,???； （2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】（1）由已知，h?x??ax?xlna，有h??x??axlna?lna， 令h??x??0，解得x?0．
由a?1，可知当x变化时，h??x?，h?x?的变化情况如下表：
x ???,0? ? ] 0 0 极小值 ?0,??? ? h??x? h?x? Z 所以函数h?x?的单调递减区间???,0?，单调递增区间为?0,???． （2）由f??x??axlna，可得曲线y?f?x?在点?x1,f?x1??处的切线斜率为ax1lna， 11，可得曲线y?g?x?在点?x2,g?x2??处的切线斜率为，
x2lnaxlna12因为这两条切线平行，故有ax1lna?，即x2ax1?lna??1，
x2lna2lnlna两边取以a为底的对数，得logax2?x1?2log2lna?0，所以x1?g?x2???，
lna（3）曲线y?f?x?在点x1,ax1处的切线l1:y?ax1?ax1lna??x?x1?，
由g??x????曲线y?g?x?在点?x2,logax2?处的切线l2:y?logax2?要证明当a?1ee1??x?x2?， x2lna时，存在直线l，使l是曲线y?f?x?的切线，也是曲线y?g?x?的切线，
1ee只需证明当a?时，存在x1????,???，x2??0,???，使得l1和l2重合．
1ee1?x1alna?①?x2lna?即只需证明当a?时，方程组?有解，
?ax1?xax1lna?logx?1②1a2?lna?112lnlnax1x1由①得x2?x，代入②，得a?xalna?x???0③， 1121lnalnaa?lna?因此，只需证明当a?时，关于x1的方程③存在实数解．
12lnlna设函数u?x??ax?xaxlna?x?， ?lnalna即要证明当a?1ee1ee时，函数y?u?x?存在零点．
u??x??1??lna?xax，可知x????,0?时，u??x??0； x??0,???时，u??x?单调递减，
?1??lna?2?????1?a?0， 又u?0??1?0，u2??lna????12故存在唯一的x0，且x0?0，使得u??x0??0，即1??lna?x0ax0?0， 由此可得u?x?在???,x0?上单调递增，在?x0,???上单调递减．
1ee2u?x?在x?x0处取得极大值u?x0?，因为a?所以u?x0??ax0?x0ax0lna?x0?，故lnlna??1，
12lnlna2?2lnlna12lnlna??x???0， ?02lnalnalnalnax0?lna?下面证明存在实数t，使得u?t??0，
1时， lna12lnlna12lnlna2有u?x???1?xlna??1?xlna??x?， ????lna?x2?x?1??lnalnalnalna所以存在实数t，使得u?t??0， 由（1）可得ax?1?xlna，当x?因此，当a?1ee1ee时，存在x1????,???，使得u?x1??0，
所以，当a?时，存在直线l，使l是曲线y?f?x?的切线，也是曲线y?g?x?的切线．
参考答案：
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
51 （9）4–i （10） （11）
212118) （13） （12） （14）(4，24三、解答题
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦
与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．
ab（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得bsinA?asinB，又由?sinAsinBπππ得asinB?acos(B?)，即sinB?cos(B?)，可得tanB?3．又bsinA?acos(B?)，666π因为B?(0，π)，可得B=．
3π（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有b2?a2?c2?2accosB?7，
3故b=7．
32π由bsinA?acos(B?)，可得sinA?．因为a 法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3． 3?kCk4?C3P（X=k）=（k=0，1，2，3）． C37sin2A?2sinAcosA?所以，随机变量X的分布列为 X P 0 1 351 12 352 18 353 4 3511218412?1??2??3??． 353535357（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪ 6C)=P(X=2)+P(X=1)=． 76所以，事件A发生的概率为． 7（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用 空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分． ruuuruuuruuu依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0）， 3C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N 2（1，0，2）． 随机变量X的数学期望E(X)?0? uuuruuur（Ⅰ）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE uuur?uuuur?n0?DC?0，?2y?0， 即? 不妨令z=–1，0，–1）的法向量，则?可得n0=（1，．又MNuuur2x?2z?0，??n0?DE?0，?uuuur3=1）（1，?，，可得MN?n0?0，又因为直线MN?平面CDE，所以MN∥平面CDE． 2uuuruuuruuur（Ⅱ）解：依题意，可得BC=（–1，0，0），BE?(1，?2，2)，CF=（0，–1，2）． uuur?n?BC?0，??x?0，?ry，z） 即? 不妨令z=1，设n=（x，为平面BCE的法向量，则?uuux?2y?2z?0，??n?BE?0，?可得n=（0，1，1）． uuur??m?BC?0，??x?0， 即? 不妨令z=1，r设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则?uuu?y?2z?0，m?BF?0，???可得m=（0，2，1）． m?n31010?因此有cos |m||n|101010． 10（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得uuurBP?(?1，?2，h)． uuur易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故 uuuruuurBP?DCuuuruuur2cos?BP?DC??uuuruuur?， BPDCh2?5所以，二面角E–BC–F的正弦值为由题意，可得2h2?5=sin60°=33，解得h=∈［0，2］． 23所以线段DP的长为 3. 32（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知 识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分. （I）解：设等比数列{an}的公比为q.由a1?1,a3?a2?2,可得q?q?2?0. n?1因为q?0，可得q?2，故an?2. 设等差数列{bn}的公差为d，由a4?b3?b5，可得b1?3d?4.由a5?b4?2b6， 可得3b1?13d?16, 从而b1?1,d?1, 故bn?n. n?1所以数列{an}的通项公式为an?2，数列{bn}的通项公式为bn?n. 1?2n?2n?1，故 （II）（i）由（I），有Sn?1?2nn2?(1?2n)kkTn??(2?1)??2?n??n?2n?1?n?2. 1?2k?1k?1（ii）证明：因为 (Tk+bk+2)bk(2k?1?k?2?k?2)kk?2k?12k?22k?1????， (k?1)(k?2)(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)k?2k?1(Tk?bk?2)bk232224232n?22n?12n?2?(?)?(?)?L?(?)??2. 所以，?3243n?2n?1n?2k?1(k?1)(k?2)n（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分． c25（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知2?，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知 a9可得，FB?a，AB?2b，由FB?AB?62，可得ab=6，从而a=3，b=2． x2y2?1． 所以，椭圆的方程为?94（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0， y2π故PQsin?AOQ?y1?y2．又因为AQ?，而∠OAB=，故AQ?2y2．由 sin?OAB4AQ52?sin?AOQ，可得5y1=9y2． PQ4?y?kx，6k?由方程组?x2y2消去x，可得y1?．易知直线AB的方程为x+y–2=0，2??1，9k?4?4?9?y?kx， 由方程组??x?y?2?0，2k．由5y1=9y2，可得5（k+1）=39k2?4，两边平方，整理得k?1111． 56k2?50k?11?0，解得k?，或k?228111 所以，k的值为或．228（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的 性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. 消去x，可得y2?（I）解：由已知，h(x)?a?xlna，有h?(x)?alna?lna. 令h?(x)?0，解得x=0. 由a>1，可知当x变化时，h?(x)，h(x)的变化情况如下表： x 0 (??,0) (0,??) xxh?(x) h(x) ? ] x0 极小值 + Z 所以函数h(x)的单调递减区间(??,0)，单调递增区间为(0,??). （II）证明：由f?(x)?alna，可得曲线y?f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为 ax1lna. 11，可得曲线y?g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为. x2lnaxlna1xx2因为这两条切线平行，故有a1lna?，即x2a1(lna)?1. x2lna2lnlna两边取以a为底的对数，得logax2?x1?2log2lna?0，所以x1?g(x2)??. lnaxxx（III）证明：曲线y?f(x)在点(x1,a1)处的切线l1：y?a1?a1lna?(x?x1). 由g?(x)? 曲线y?g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2：y?logax2?1e1?(x?x2). x2lna要证明当a?e时，存在直线l，使l是曲线y?f(x)的切线，也是曲线y?g(x)的切线，只需证明当a?e时，存在x1?(??,??)，x2?(0,??)，使得l1和l2重合. 1e1?x1alna?①1?xlna?2即只需证明当a?ee时，方程组?有解， ?ax1?xax1lna?logx?1②1a2?lna?112lnlnax1x1由①得x2?x，代入②，得a?xalna?x???0. ③ 11a1(lna)2lnalna因此，只需证明当a?e时，关于x1的方程③有实数解. 112lnlna设函数u(x)?a?xalna?x?，即要证明当a?ee时，函数y?u(x)?lnalna1exx存在零点. u?(x)?1?(lna)2xax，可知x?(??,0)时，u?(x)?0；x?(0,??)时，u?(x)单调递 减，又 ?1?(lna)2故存在唯一的x0，且x0>0，使得u?(x0)?0，u???1?a?0，u?(0)?1?0，2??(lna)?即 11?(lna)2x0ax0?0. 由此可得u(x)在(??,x0)上单调递增，在(x0,??)上单调递减. u(x)在x?x0处取得极大值u(x0). 因为a?e，故ln(lna)??1， 所以 1eu(x0)?ax0?x0ax0lna?x0?12lnlna12lnlna2?2lnlna???x???002lnalnax0(lna)lnalna. 下面证明存在实数t，使得u(t)?0. 由（I）可得ax?1?xlna， 当x?有 1时， lnau(x)?(1?xlna)(1?xlna)?x?， 所以存在实数t，使得u(t)?0 12lnlna12lnlna???(lna)2x2?x?1??lnalnalnalna因此，当a?e时，存在x1?(??,??)，使得u(x1)?0. 所以，当a?e时，存在直线l，使l是曲线y?f(x)的切线，也是曲线y?g(x)的切线.# 1e1e
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 理科数学试题及详解 精编精校版
