1．3.2 函数的极值与导数
1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点
如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：
①f(a)01 ③在x＝a附近的左侧，f′(x)03<0，函数单调递04减； 在x＝a附近的右侧，f′(x)05>0，函数单调递06增． (2)极大值与极大值点 如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)07>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值； ②f′(b)＝080； ③在x＝b附近的左侧，f′(x)09>0，函数单调递10增； 在x＝b附近的右侧，f′(x)11<0，函数单调递12减． 2．求函数f(x)极值的方法与步骤 解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)13>0，右侧f′(x)14<0，那么，f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)15<0，右侧f′(x)16>0，那么，f(x0)是极小值． □□□□□□□□□□□□□□□□ (3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x017不是极值点． □ 函数极值点的两种情况 (1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立． (2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( ) 1 (3)函数f(x)＝x有极值．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做 (1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________． (2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________． (3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________． 答案 (1)2 (2)a<0 (3)1 探究1 求已知函数的极值 例1 求下列函数的极值． 3 (1)f(x)＝x＋3ln x； (2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)． 3 [解] (1)函数f(x)＝x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， 333?x－1? f′(x)＝－x2＋x＝x2， 令f′(x)＝0得x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (0,1) － 1 0 极小值3 (1，＋∞) ＋ 因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3. (2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) 由此可得： 当0 当1 综上得，当0 [条件探究] 若将本例(2)中a>0改为a<0，结果会怎样？ [解] 由例1(2)中表可得：当－1 当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上得，当－1 求函数极值的方法 一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还 (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 (0,2) － 2 0 极小值 (2，＋∞) ＋ 是x<0，恒有f′(x)>0，即函数f(x)＝x3是单调递增的，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件． 【跟踪训练1】 求下列函数的极值． (1)f(x)＝ 2x －2； x2＋1 (2)f(x)＝x2e－x. 解 (1)函数的定义域为R. 2?x2＋1?－4x22?x－1??x＋1? f′(x)＝＝－. ?x2＋1?2?x2＋1?2令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： 由上表可以看出， 当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3； 当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1. (2)函数的定义域为R. f′(x)＝2xe－x－x2e－x ＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表： 由上表可以看出， 当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0； 4 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝e2. 探究2 已知函数的极值求参数 例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值． [解] 因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， ?f′?－1?＝0，?3－6a＋b＝0，?所以即? ?f?－1?＝0，?－1＋3a－b＋a2＝0，?a＝1，?a＝2，解得?或? b＝3，b＝9.?? 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)， 当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数； 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数； 所以f(x)在x＝－1时取得极小值． 所以a＝2，b＝9. 拓展提升 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 【跟踪训练2】 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在点x＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性． (1)求实数b的值； (2)求实数a的取值范围． 解 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f(x)在点x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，解得b＝0. (2)令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＝0， 2解得x＝0或x＝－3a．
人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用 (4)
