若要功夫深，铁杵磨成针！
最新四校高三（下）第二次联考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．全集U=R，A={x|x＞4}，B={x|log3x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3} 2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（ ） A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，l∥β，则l⊥α C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n
2
3．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
4．已知P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）（ ） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞） 5．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜函数表达式为（ ）
，x∈R）的部分图象如图所示，则该
A．y=2sin（C．y=2sin（
x+x﹣
）+1 B．y=2sin（）+1 D．y=2sin（
x﹣x+
） ）+1
2
2
6．过双曲线﹣=1（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x+y=的切
线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若A．
B．
C．
D．
=（+），则双曲线的离心率为（ ）
7．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=3个零点，则a的取值范围是（ ）
﹣a（x≠0）有且仅有
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A．[，]∪[，] B．（，]∪[，） ∪[，]
C．（，]∪[，） D．[，]
8．将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．已知α，β为锐角，
，则cos2β= ，α+2β= ．
10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为 ．表面积为 ．体积为 ．
11．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）= ；不等式f（x）+f（﹣x）＜的解集为 ． 12．已知
= ，
S2015= ．
13．已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x+4y恒成立，则k的最大值是 ． 14．已知△ABC中，
2
2
2
，则= ．
2
2
15．已知点M（4，0），点P在曲线y=8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）+y=1上运动，则取到最小值时P的横坐标为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a=1，，求b+c的值．
17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；．
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（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．
18．已知函数f（x）=（I）求f（x）的解析式；
（a＞0，b＞1），满足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值．
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，不等式f（x）≤恒成立，求实数m的取值范围．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点
为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点）．当|AB|=
时，求实数t的值．
+=t
20．数列{an}满足a1=2，．
（1）设，求数列{bn}的通项公式；
，数列{cn}的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：
．
（2）设
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参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1．全集U=R，A={x|x＞4}，B={x|log3x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＜﹣2} B．{x|2＜x＜3} C．{x|x＞3} D．{x|x＜﹣2或2＜x＜3} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题．
【分析】求出集合A、集合B，然后求出两个集合的交集即可． 【解答】解：A={x|x＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}， B={x|log3x＜1}={x|0＜x＜3}，
所以A∩B={x|x＞2或x＜﹣2}∩{x|0＜x＜3}={x|2＜x＜3}， 故选B
【点评】本题考查集合间的交集的运算，注意不等式的解集，借助数轴解答或者韦恩图，是解答集合问题的常用方法，本题是基础题． 2．设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（ ） A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γ B．若α⊥β，l∥β，则l⊥α C．若则m⊥α，n⊥α，m∥n D．若m∥α，n∥α，则m∥n 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择．
【解答】解：对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误； 对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B 错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误； 故选C．
【点评】本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记定理是关键．
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3．设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合．
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【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=2x+y在y轴上截距的 最小值，从而得到z最小值即可． 【解答】解：在坐标系中画出可行域
由z=2x+y可得y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小 平移直线2x+y=0经过点B时，z=2x+y最小 由
可得B（2，0）
则目标函数z=2x+y的最小值为z=2 故选：C
【点评】.借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
4．已知P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）（ ） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：P={x|x＜2}，Q={x|x＜a}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件， 则a＜2， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义建立不等式关系是解决本题的关键．
5．函数y=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜函数表达式为（ ）
，x∈R）的部分图象如图所示，则该
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2020-2021学年高三数学（理科）四校联考摸底考试及答案解析
