人教版高中数学选修2-3
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．(1＋x)2n1(n∈N)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( ) A．n，n＋1 C．n＋1，n＋2
B．n－1，n D．n＋2，n＋3
＋
2．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．－1 C．1
D．2
3．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为( ) A．71
B．70
C．21
D．49
0＋2C1＋22C2＋…＋2nCn＝729，则C1＋C3＋C5的值等于( ) 4．已知Cnnnnnnn
A．64 B．32 C．63 D．31
?3x－1?n
5．若?3?的展开式中含有非零常数项，则这样的正整数n的最小值是( )
2x??
A．3 二、填空题
6．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________． 7．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为________． 8．如图所示，满足如下条件： ①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________． 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4
1
B．4 C．10 D．12
人教版高中数学选修2-3 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 … 三、解答题
9．设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99.
10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
2
人教版高中数学选修2-3
[B级 能力提升]
n1n11
1．若9n＋Cn＋…＋Cn＋1·9n＋1·9＋Cn＋1是11的倍数，则自然数n为( )
－
－
A．奇数
B．偶数
D．被3除余1的数
C．3的倍数
2．(2015·山东卷)观察下列各式：
0＝40； C1
0＋C1＝41； C330＋C1＋C2＝42； C5550＋C1＋C2＋C3＝43； C7777
……
照此规律，当n∈N时，
n1012C2n－1＋C2n－1＋C2n－1＋…＋C2n－1＝________．
－
161
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于?5x2＋?的展开式的常数项，而(a2＋1)n的
x??展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
5
3
人教版高中数学选修2-3
——★ 参 考 答 案 ★——
[A级 基础巩固]
一、选择题 1．C
[[解析]]因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大， 中间两项的项数是n＋1，n＋2. 2．A
[[解析]]令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A. 3．B
[[解析]]因为奇数项的二项式系数和为2n1，所以2n1＝64，n＝7，
2(－2)2＋C1(－2)＝70. 因此(1－2x)n(1＋x)展开式中含x2项的系数为C77
－
－
4．B
13＋C5＝C1＋C3＋C5＝×26＝32. [[解析]]由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C1＋Cnnn666
25．B
[[解析]]Tr＋1＝Crn(?－1?r
3x)?3?
2x??
n－r
r1?r??－
＝Cr·(－1)r?3?·xnr·x3 n(3)
?2?
n－r
＝Crn(
?－1?rn?43r3)?3?x，
2??
n－r
44
令n－r＝0，得n＝r.所以n取最小值为4.
33二、填空题
13
6．120a2
13
n12437
[[解析]]C0＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝C7n＋Cn＋Cn＋…＝210a(a)＝120a2.
－
7．－162
[[解析]]由题意可得：(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1＋x＋x2)(x－1)10＝(x3－1)(x－1)9， 即考查代数式：x3(x－1)9－(x－1)9中x5的系数，
744据此可得，系数为：C79×(－1)－C9×(－1)＝－162.
4
人教版高中数学选修2-3 n2－n＋2
8．46
2
[[解析]]由图表可知第10行的第2个数为： (1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46， 第n行的第2个数为：
n（n－1）n2－n＋2
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝. 22三、解答题
9．解：(1)令x＝0，得a0＝2100.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝(2－3)100，① 所以a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝(2－3)100－2100. (3)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.② 由①②联立，得
（2－3）100－（2＋3）100
a1＋a3＋a5＋…＋a99＝.
2
566
10．解：T6＝C5n(2x)，T7＝Cn(2x)， 566依题意有C5n2＝Cn2，解得n＝8.
4(2x)4＝1 120x4. 所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C8kk1k1?Ck，82≥C82?
设第(k＋1)项系数最大，则有?kk k＋1k＋1
?C2≥C2，?88
－
－
解得5≤k≤6.
又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6. 所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
[B级 能力提升]
1．A
11·9n－1＋…＋Cn－1·9＋Cn＝(9n＋1＋C1·9n＋…＋Cn－1·92＋Cn＋Cn＋1)[[解析]]9n＋Cn＋1n＋1n＋1n＋1n＋1n＋1n＋1
91111＋＋
－＝(9＋1)n1－＝(10n1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数． 99992．4n1
[[解析]]具体证明过程可以是：
10n－1n－101212C2n－1＋C2n－1＋C2n－1＋…＋C2n－1＝(2C2n－1＋2C2n－1＋2C2n－1＋…＋2C2n－1) 2
－
5
高中数学选修2-3课时作业16：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
