课后限时集训9
指数与指数函数
A组
一、选择题 1．设a＞0，将
a2
3
表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
a·a2
C
2．已知函数f(x)＝4＋2aA．(1,6) C．(0,5)
xx－1
.故选C.]
的图像恒过定点P，则点P的坐标是( )
B．(1,5) D．(5,0)
A [由于函数y＝a的图像过定点(0,1)， 当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6， 故函数f(x)＝4＋2a0.6
x－1
的图像恒过定点P(1,6)．]
1.5
0.6
3．设a＝0.6，b＝0.6，c＝1.5，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c C．b＜a＜c
xB．a＜c＜b D．b＜c＜a
C [y＝0.6在R上是减函数，又0.6＜1.5， ∴0.6＞0.6.
又y＝x为R上的增函数，
∴1.5＞0.6，∴1.5＞0.6＞0.6，
0.6
0.6
0.6
0.6
1.5
0.60.6
1.5
即c＞a＞b.]
xax4．函数y＝(0＜a＜1)的图像的大致形状是( )
|x|
A B
C D
x?a，x＞0，xax?
D [函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝?x|x|??－a，x＜0，
x
当x＞0时，函数是指
x数函数y＝a，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数y＝－a的图像与指数函数y＝a(0＜a＜1)的图像关于x轴对称，所以函数递增，所以应选D.]
??1－2，x≥0，
5．已知函数f(x)＝?x?2－1，x＜0，?
－xx
则函数f(x)是( )
A．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
C [易知f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝1－2，－f(x)＝2－1，此时－x＜0，则f(－
－x－xx)＝2－x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时，－x＞0，则f(－
x)＝1－2
－(－x)
＝1－2＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.]
x
二、填空题 6．若函数f(x)＝a|2x－4|
1
(a＞0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．
9
112
[2，＋∞) [由f(1)＝得a＝，
99
11?1?|2x－4|.
所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝??
33?3?
由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 7．不等式2
2
－x＋2x1?x＋4?＞?? 的解集为________． ?2?
2－x＋2x(－1,4) [原不等式等价为2
x＞2
－x－4
，
又函数y＝2为增函数，∴－x＋2x＞－x－4， 即x－3x－4＜0，∴－1＜x＜4.]
8．若直线y1＝2a与函数y2＝|a－1|(a＞0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是________．
x2
2
(0，)
的图像，
[(数形结合法)当0＜a＜1时，作出函数y2＝|a－1|
x由图像可知0＜2a＜1， 1
∴0＜a＜；
2
1
同理，当a＞1时，解得0＜a＜，与a＞1矛盾．
2综上，a的取值范围是错误!.] 三、解答题
?1?9．已知函数f(x)＝???3?
ax2－4x＋3
.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 1?－x－4x＋3?[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝??， ?3?令u＝－x－4x＋3＝－(x＋2)＋7.
则u在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
2
2
2
?1?u而y＝??在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单
?3?
调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
1?h(x)?(2)令h(x)＝ax－4x＋3，则f(x)＝?? ，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小?3?
2
值－1.
a＞0，??
因此必有?12a－16
＝－1，??4a
解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值为1.
(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，函数y＝ax－4x＋3的值域为R，则必有a＝0. 10．已知函数f(x)＝b·a(其中a，b为常量，且a＞0，a≠1)的图像经过点A(1,6)，
x2
B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
?1?x?1?x(2)若不等式??＋??－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
ab??
??
[解] (1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)，
所以?
??b·a＝6，
3
??b·a＝24.
2
x
所以a＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3. 所以f(x)＝3·2.
?1?x?1?x(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，??＋??－m≥0恒成立，即m≤
?2??3??1?x＋?1?x在(－∞，1]上恒成立． ?2??3?????
?1?x?1?x?1?x?1?x又因为y＝??与y＝??均为减函数，所以y＝??＋??也是减函数，所以当x＝1时，
?2??3??2??3?
y＝??x＋??x有最小值.所以m≤.即m的取值范围是?－∞，?.
236
?1????1???
5656
??
5?
?
B组
1．已知a，b∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜b＜a，则( ) A．0＜b＜a＜1 C．1＜b＜a
C [∵当x＞0时，1＜b，∴b＞1.
∵当x＞0时，b＜a，∴当x＞0时，??＞1.
b∴＞1，∴a＞b.∴1＜b＜a，故选C.] 2．设f(x)＝e0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f?系式中正确的是( )
A．q＝r＜p C．q＝r＞p
B．p＝r＜q D．p＝r＞q
x,xxxxxB．0＜a＜b＜1 D．1＜a＜b
?a?x??
ab?a＋b?，r＝fafb，则下列关
??2?
2021届高考数学(理)一轮复习课后限时集训：9指数与指数函数
