实用标准文案
[思路]
此题虽是一道在老教材之下的高考试题,但揭示了“解不等式”一类高考试题的命题方向.在新教材中,绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都有一定联系,属于对于学生提出的基本要求内容的范畴,本题将这几部分知识内容有机地结合在一起,在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时,考查了学生命题转换,分类讨论等能力,在不同的方法下有不同的运算量,较好地体现出了“多考一点想,少考一点算”的命题原则.
[破解]:函数y?c在R上单调递减?0?c?1,不等式x?|x?2c|?1的解集为R?函数
xx?2c,?2x?2c,∴函数y?x?|x?2c|在R上的最y?x?|x?2c|在R上恒大于1,∵x?|x?2c|???2c,x?2c,小值为2c,∴不等式x?|x?2c|?1的解集为R?2c?1,即c?1,若P正确,且Q不正确,则20?c?1;若Q正确,且P不正确,则c?1; 21所以c的取值范围为(0,]?[1,??).
2[收获]
“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概念和集合的语言来命题,借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答,是这个命题的基本特征,在求解时则主要以化归思想为破解切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.
(2)解不等式的题常以填空题和解答题的形式出现,此类题主要以一元二次不等式,分式不等式,含绝对值不等式为主,在解答题中含字母参数的不等式较多,需要对字母进行分类讨论. 例3:解关于x的不等式kx?6x?k?8?0。
2分析 本例涉及了两个讨论点:二次项系数和判别式的符号. 解 ??36?4k(k?8)??4(k?9)(k?1)
(1)当k?0时:若k≥9,则?≤0,不等式解集为?;若0?k?9,则??0,解集为
?k?1)??3??3?(9?k)(x?x??k??(9?kk)(?k?1)??. ???(2)当k?0时:不等式为6x?8?0,解集为?xx??(3)当k?0时:若?1?k?0,则??0,解集为
4??. 3???3?(9?k)(k?1)?3?(9?k)(k?1)???xx?或x???.
kk????若k??1,不等式为?x2?6x?9?0,解集为x?R且x?3.
若k??1,则??0,解集为R.
点拨 由于分类的原因有两个,为了避免逻辑混乱,本例采取了“二级分类”方法:第一级以二次项系数的符号作为划分的依据;第二级依判别式的符号进行划分.
例4:若不等式|x-4|+|3-x| 文档 实用标准文案 [思路] 此不等式左边含有两个绝对值符号,可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于0,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集,这是按常规去掉绝对值符号的方法求解,运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构,利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|,便把问题简化。 [破解] 解法一 (1)当a≤0时,不等式的解集是空集。 (2)当a>0时,先求不等式|x-4|+|3-x| ① 当x≥4时,原不等式化为x-4+x-3 解不等式组??x?47?a,∴a>1 ?4?x?2x?7?a2?② 当3 ③ 当x≤3时,原不等式化为4-x+3-x1 22?7?2x?a综合①②③可知,当a>1时,原不等式有解,从而当0 由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1 解法二:由|x-4|+|3-x|的最小值为1得当a>1时,|x-4|+|3-x||x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1∴当a>1时,|x-4|+|3-x| 1)一题有多法,破解时需学会寻找最优解法。 2)f?x??a有解?a?f?x?min;f?x??a解集为空集?a?f?x?min;这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?max。f?x??a有解?a?f?x?min;f?x??a解集为空集?a?f?x?min;这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?max。f?x??a有解?a?f?x?max;f?x??a解集为空集 ?a?f?x?max;这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?min。f?x??a有解?a?f?x?max;f?x??a解集为空集?a?f?x?max;这两者互补。f?x??a恒成立?a?f?x?min。 (3)证明不等式一般同函数知识相结合,综合性较强,灵活性较大,具有较好的区分度. 例5:若二次函数y?f?x?的图象经过原点,且1?f??1??2,3?f?1??4,求f??2?的范围. [思路]要求f??2?的取值范围,只需找到含f??2?的不等式(组).由于y?f?x?是二次函数,所以应先将y?f?x?的表达形式写出来.即可求得f??2?的表达式,然后依题设条件列出含有f??2?的不等式(组),即可求解. 文档 实用标准文案 [破解]因为y?f??x的图象经过原点,所以可设y?f?x??ax2?bx.于是 ?1?f??1??2?1?a?b?2????1??3?f1?43?a?b?4????? 解 法 一 ( 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 ) 不 等 式 组 (1) 变 形 得 ?b?24?2?a2?6?a4?b?2?1?f0???4?a2?6?6??其中等号分别在210??a?2?a?3与?时成立,且 ?b?1?b?1?a?2?a?3与?也满足(1)所以f??2?的取值范围是?6,10?. ??b?1?b?1解法二(数形结合)建立直角坐标系aob,作出不等式组(1)所表示的区域,如图中的阴影部分.因为f??2??4a?2b,所以4a?2b?f??2??0表示斜率为2的直线系.如图6,当直线4a?2b?f??2??0过点A?2,1?,B?3,1?时,分别取得f??2?的最小值6,最大值10.即f??2?的取值范围是:?6,10?. 1?a??f?1??f??1?????b???f?1??a2?解法三(利用方程的思想)因为?所以?又 ?b??f??1??a?b?1?f?1??f??1?????2?f??2??4a?2b?3f??1??f?1?,而 1?f??1??2,3?f?1??4, ① 所以 3?3f??1??6. ② ①+②得6?3f??1??f?1??10即6?f??2??10。 [收获] 1)在解不等式时,要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:将不等式组(1)变形得 ?2?a?3?4?2a?6???1?3,而f??2??4a?2b,8?4a?12,?3??2b??1,所以5?f??2??11 ?b??1?2b?3??222)对这类问题的求解关键一步是,找到f??2?的数学结构,然后依其数学结构特征,揭示其代数的、几何的本质,利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法,从不同角度去解决同一问题.若 长期这样思考问题,数学的素养一定会迅速提高. 3)本题灵活地考查了同向不等式的可加性,但要注意f??2?的数学结构。 3、 我们的收获 文档 实用标准文案 通过这次的研究性学习,我们懂得了很多有关不等式的知识,并得出以下心得。 (1)重视数学思想方法的复习 从命题趋向来看,我们应该加强对数学思想方法的复习. ①在复习不等式的解法时,加强等价转化思想的训练力度,由于解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程,通过等价转化可以简化不等式(组),以快速、准确求解. ②加强分类讨论思想的复习.在解不等式或证不等式的过程中,如含有参数等问题,这时可能要对参数进行分类讨论.其中在讨论的过程中,要明白引起讨论的原因,同时要合理分类,要做到不重不漏. ③加强函数与方程思想在不等式中的应用训练,不等式、函数、方程三者密不可分,相互联系,互相转化,如求参数的取值范围问题,函数与方程思想是解决这类问题的重要方法. ④在不等式的证明中,要加强化归思想的复习,证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程,这既可考查学生的基础知识,又可考查学生分析问题和解决问题的能力,正因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材,所以在复习中应特别加以关注. (2)强化不等式的应用 由于不等式单独命题较少,常在函数、数列、立几、解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识,加强不等式应用能力,是提高解综合问题能力的关键,因此,在复习时应加强这方面知识和能力的训练,提高应用意识,总结不等式的应用规律,才能提高解决问题的能力,如在实际问题应用中,主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法,在求最值时要注意等号成立的条件,避免不必要的错误,同时还要注意实际情况的限制. 4、 展望 未来的学习和生活中我们会继续与不等式打交道,不等式的美我们在日后也能继续欣赏。希望会有等多的人重视不等式,也希望不等式领域能继续扩大。 文档
不等式常见考试题型总结材料
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