实用标准文案
证明 ∵a?0，∴只需证明a2?b2?a?ab，两边同除b，即只需证明
22[来源:Z§xx§k.Cm]
a2?b2b2?ab22?aa2a2aaa2a2a2a，即 ()?1?()?当?1时，()?1?()?1?()?；当bbbbbbbbba?1时，a?b?0，原不等式显然成立．∴原不等式成立． b说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：
a2?b2aa?bb??a??b
aa22（1）如果
a?1，则a?b?0，原不等式显然成立． bbbb ?1，则???b，利用不等式的传递性知a?，b?a?b，∴原不等式也成立．
aaa（2）如果
典型例题五
例5 求证
a?b1?a?b?a1?a?b1?b．
分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们
联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．
证明：设f(x)?x1?x?11． ??1?1?x1?x1?x[来源:Z&xx&k.Com]定义域为｛xx?R，且x??1｝，f(x)分别在区间(??,?1)，区间(?1,??)上是增函数．又
0?a?b?a?b，∴f(a?b)?f(a?b)即
a?b1?a?b?a?b1?a?b?a1?a?b?b1?a?b?a1?a?b1?b
∴原不等式成立．
说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵a?b?a?b，1?a?b?0，∴
a?bababa?b?????．
1?a?b1?a?b1?a?b1?a?b1?a1?b错误在不能保证1?a?b?1?a，1?a?b?1?b．绝对值不等式a?b?a?b在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．
型例题六
文档
实用标准文案
(a?1)2(a?1)2例6 关于实数x的不等式x?与x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0(a?R)的解集依次为?22A与B，求使A?B的a的取值范围．
分析：分别求出集合A、B，然后再分类讨论．
(a?1)2(a?1)2(a?1)2(a?1)2(a?1)2?x??解：解不等式x?，?， ?22222∴A?x2a?x?a2?1,a?R．
解不等式x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0，[x?(3a?1)](x?2)?0． 当a????1?1时（即3a?1?2时），得B??x2?x?3a?1,a??．
3?3??1?1时（即3a?1?2时），得B??x3a?1?x?2,a??．
3?3?当a??2a?2,1当a?时，要满足A?B，必须?2故1?a?3；
3a?1?3a?1,?当a??2a?3a?1,?a??1,1时，要满足A?B，必须? ∴a??1． ?2?1?a?1,3??2?a?1;所以a的取值范围是a?Ra??1或1?a?3．
说明：在求满足条件A?B的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．
??
典型例题七
例6 已知数列通项公式an?sinasin2asin3asinna当m?n时，求证：?2?3???n对于正整数m、n，
2222am?an?1． 2n分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式
a1?a2???an?a1?a2???an，问题便可解决．
证明：∵m?n
∴am?an?sin(n?1)asin(n?2)asinmasin(n?1)asin(n?2)asinma?????????
2n?12n?22m2n?12n?22m1?12n?1?12n?21???m?22(1?n?1)2m?n?1(1?1)?1(0?1?1?1)． 12n2m?n2n2m?n1?21文档
实用标准文案
111是以为首项，以为公比，共有m?n项的等比数列的和，误认为n?1n?2mn?122222共有m?n?1项是常见错误．
说明：
1?1???正余弦函数的值域，即sin??1，cos??1，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．
典型例题八
例8 已知f(x)?x2?x?13，x?a?1，求证：f(x)?f(a)?2(a?1)
分析：本题中给定函数f(x)和条件x?a?1，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件x?a?1的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用a?1?x?a?1，替出x；(3)用绝对值的性质
x?a?x?a?1?x?a?1进行替换．
证明：∵f(x)?x2?x?13，∴f(a)?a2?a?13，∵x?a?1，∴x?a?x?a?1． ∴x?a?1，∴f(x)?f(a)?x2?a2?a?x?(x?a)(x?a)?(x?a)?(x?a)(x?a?1)
?x?a?x?a?1?x?a?1?x?a?1?a?1?a?1?2(a?1)，即f(x)?f(a)?2(a?1)．
说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件x?a?1使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．
典型例题九
?x?0?例9 不等式组?3?x2?x的解集是（ ）．
??3?x2?x?A．?x0?x?2? B．?x0?x?2.5? C．x0?x?6 D．?x0?x?3?
??分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由
3?x2?x3?x?，知?0，∴?3?x?3，又x?0，3?x2?x3?x∴0?x?3，解原不等式组实为解不等式
3?x2?x?（0?x?3）． 3?x2?x解法一：不等式两边平方得：(3?x)2(2?x)2?(3?x)2(2?x)2．
∴(x2?x?6)2?(x2?x?6)2，即(x2?x?6?x2?x?6)(x2?x?6?x2?x?6)?0，
?x2?6?0∴x(6?x)?0，又0?x?3．∴? ∴0?x?6．选C．
?0?x?32文档
实用标准文案
解法二：∵x?0，∴可分成两种情况讨论：
3?x2?x（0?x?2）．解得0?x?2． ?3?x2?x3?xx?2(2)当x?2时，不等式组可化为（x?2），解得2?x?6． ?3?x2?x(1)当0?x?2时，不等式组化为
综合(1)、(2)得，原不等式组的解为0?x?6，选C．
说明：本题是在x?0的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．
典型例题十
例10 设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0，且b?0)，已知b?a，f(0)?1，f(?1)?1，f(1)?1，当x?1时，证明f(x)?5． 4分析：从a?0知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从x?1且f(?1)?1，f(1)?1知，要求证
5，所以抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴上方．因此抛物线的顶点4的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．
的是f(x)?证明：∵2b?(a?b?c)?(a?b?c)?a?b?c?a?b?c?f(1)?f(?1)?1?1?2，∴b?1．又
bb1b4ac?b2b2??1．又c?f(0)?1，f(?)?∵b?a，∴?1．∴?， ?c?a2a22a4a4a[1b15bb2b2?c???b?1??1?1?．而f(x)的图像为开口向上的抛物线，∴f(?)?c??c?4a442a4a4a且x?1，?1?x?1，∴f(x)的最大值应在x?1，x??1或x??b处取得．∵f(1)?1，f(?1)?1，2af(?b5)?， 2a45． 4说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键
∴f(x)?是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在x?1范围内的最大值．
文档
实用标准文案
不等式题型总结
1、 高考与不等式
纵观近年来的高考试题，有关不等式的试题占的分值相当大，约占总分的12%，已经成为高考必
考的热点内容，不仅考查不等式的基本知识，基本技能，而且注重考查学生的运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，有时还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。单独考不等式的考题占分不多，但涉及不等式的知识、方法、技巧的问题往往占有较大的比例，其中不等式常常与下列知识相结合考查：
①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；
②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；
③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．
2、 命题趋势及典型例题解释
（1）不等式的性质考查会与函数性质相结合起来，一般多以选择题出现，填空题出现，也有可能与充要条件、逻辑知识结合起来．
例1：设命题甲：x和y满足??2?x?y?4?0?x?1，命题乙：x和y满足? ，那么 甲是乙的（）
?0?xy?3?2?y?3A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
［思路］
根据同向不等式的可加性，从乙?甲和甲?乙两个方面进行推导，再结合充要条件相关概念进行分析。 ［破解］易知??2?x?y?4?2?x?y?4?0?x?1?2?x?3即乙?甲；但当?时，显然满足????0?xy?3?2?y?3?0?xy?3?0?y?1?0?x?1不满足?故甲?乙 不成立。从而甲是乙的必要但不充分条件 。故选B
2?y?3?［收获］
本题将不等式的可加性与充要条件的相关概念进行了有机结合。做题时不要将充分不必要条件与必要不充分条件混淆起来。
例2：已知c?0.设
P:函数y?cx在R上单调递减.
Q:不等式x?|x?2c|?1的解集为R.
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.
文档
不等式常见考试题型总结材料
