2019年
满分示范课——概率与统计
【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
[规范解答](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，1分 2＋16＋36
由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6.
90所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.4分 (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900， 所以，利润Y的所有可能值为－100，300，900.8分
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.12分
高考状元满分心得
36＋25＋7＋4
＝0.8.
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(1)得步骤分：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全．如第(1)问中，写出当且仅当最高气温低于25得分，第(2)问中分当若最高气温不低于25，若最高气温位于区间[20，25)，若最高气温低于20等才能得满分．
(2)得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如2＋16＋36第(1)问应写明频率为＝0.6，第(2)问应写出Y的所有可能值为900，300，－100.
90
[解题程序] 第一步：由频数表计算需求量不超过300瓶的频率； 第二步：利用频率估计概率；
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第三步：计算进步量为450瓶时，利润Y随气温变化的取值； 第四步：依条件确定Y≥0时，气温变化区间； 第五步：由表格数据计算频率，并进一步估计概率； 第六步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范． [跟踪训练]
1．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率． 解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4. 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工中评分在[40，50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，
B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．
其中所抽取2人的评分都在[40，50)的结果只有一种{B1，B2}． 1
故所求事件的概率P＝.
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2．(2018·潍坊质检)2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
月份 月份编号t 销量(万辆) 2017.12 1 0.5 2018.01 2 0.6 2018.02 3 1 2018.03 4 1.4 2018.04 5 1.7 (1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关
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^^^
系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方法：y＝bt＋a，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；
^^^^
参考公式及数据：①回归方程y＝bt＋a，其中b＝错误!iyi＝18.8.
(2)2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行调整，某市场调研机构对某地拟购买新能源汽车的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
补贴金额预期值区间(万元) 频数 [1，2) [2，3) [3，4) [4，5) [5，6) [6，7] 20 60 60 30 20 10 －(ⅰ)求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X的平均值x及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；
(ⅱ)将对补贴金额的心理预期值在[1，2)(万元)和[6，7](万元)的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率．
－
1＋2＋3＋4＋5
解：(1)易知t＝＝3，
5－
y＝
n0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7
＝1.04，
5
22222
i＝1＋2＋3＋4＋5＝55， ?t2
i＝1
^
b＝
18.8－5×3×1.04
＝＝0.32， 2
55－5×3
^－^－
所以a＝y－bt＝1.04－0.32×3＝0.08. ^
则y关于t的线性回归方程为y＝0.32t＋0.08，
^
则当t＝6时，y＝0.32×6＋0.08＝2，即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆． －
(2)(ⅰ)根据题意，这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X的平均值x及中位数的估计值分别为：
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－
x＝1.5×0.1＋2.5×0.3＋3.5×0.3＋4.5×0.15＋5.5×0.1＋6.5×0.05＝3.5，
100－20－601
中位数的估计值为3＋1×＝3＋≈3.3.
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(ⅱ)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，由分层抽样的定义可知6xy＝＝，解得x＝2，y＝4. 301020
在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1，A2，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B1，B2，
B3，B4，则所有的抽样情况如下：
{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，B2，B3}，{A1，A2，B4}，{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，
B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，{B1，B2，B3}，{B1，B2，B4}，{B1，B3，B4}，{B2，B3，B4}共20种．
其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16种．
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记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则P(A)＝＝0.8.
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2020高考数学二轮复习 第二部分 专题六 概率与统计满分示范练 文
