欢迎访问搏优教育网试题下载站：www.sxbyedu.net 搏优教育网新闻资讯站 www.sxbyedu.com
高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列通项公式，即an?an?的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的
，且任何一项an与它的前一项an?1（或前几?an?的第一项（或前几项）
?f(n).
3.递推公式：如果已知数列
?f(an?1)或an?f(an?1,an?2)，那么这个式子叫做数
列?an?的递推公式. 如数列?an?中，a1?1,an?2an?1，其中an?2an?1是数列?an?的递推
项）间的关系可以用一个式子来表示，即an公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
?S1(n?1)①Sn?a1?a2???an； ②an??.
S?S(n?2)n?1?n5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何n?N?,均有an?1②递减数列:对于任何n?N?,均有an?1③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1,?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数M使
?an. ?an.
an?M,n?N?.
⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得an?M.
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式an?a1?(n?1)d，a1为首项，d?为公差.
⑵前n项和公式Sn3.等差中项
n(a1?an)1或Sn?na1?n(n?1)d.
22A叫做a与b的等差中项.
如果a,A,b成等差数列，那么即：
A是a与b的等差中项?2A?a?b?a，A，b成等差数列.
4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：an?1?an?d（n?N?，d是常数）??an?是等差数列；
⑵中项法：2an?1⑴数列
?an?an?2(n?N?)??an?是等差数列.
5.等差数列的常用性质
?an?是等差数列，则数列?an?p?、?pan?（p是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列?an?中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等
差数列，公差为kd.
⑶an?am?(n?m)d；an?an?b(a,b是常数)；Sn?an2?bn(a,b是常数，a?0)
陕西搏优培训学校 北新街校区:029-86185067 北门校区：029-68873400 经开校区:029-89168134 金花北路校区：029-68873411
欢迎访问搏优教育网试题下载站：www.sxbyedu.net 搏优教育网新闻资讯站 www.sxbyedu.com ⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；
Sn??an?的前n项和Sn，则???是等差数列；
?n?⑸若等差数列
⑹当项数为2n(n?N?)，则S偶?S奇?nd,S偶an?1?S奇an；
当项数为2n?1(n?N?)，则S奇?S偶?an,S偶n?1. ?S奇n等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q列，常数q称为等比数列的公比.
?0)，这个数列叫做等比数
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式：an?a1qn?1，a1为首项，q为公比 .
?1时，Sn?na1
⑵前n项和公式：①当qa1(1?qn)a1?anq②当q?1时，Sn?. ?1?q1?q3.等比中项
如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项?a，
4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：
A，b成等差数列?G2?a?b.
an?1?q（n?N?，q?0是常数）??an?是等比数列； an2⑵中项法：an?1⑴数列
?an?an?2(n?N?)且an?0??an?是等比数列.
5.等比数列的常用性质
?an?是等比数列，则数列?pan?、?pan?（q?0是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列?an?中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an?k,an?2k,an?3k,?为等
比数列，公比为q.
k?am?qn?m(n,m?N?)
⑷若m?n?p?q(m,n,p,q?N?)，则am?an?ap?aq；
⑶an⑸若等比数列
?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k、S4k?S3k是等比数列.
二、典型例题
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a4?9,a9??6,Sn?63，求n；
2、等差数列?an?中，a4?10且a3，a6，a10成等比数列，求数列?an?前20项的和S20．
3、设?an?是公比为正数的等比数列，若a1?1,a5?16，求数列?an?前7项的和.
陕西搏优培训学校 北新街校区:029-86185067 北门校区：029-68873400 经开校区:029-89168134 金花北路校区：029-68873411
欢迎访问搏优教育网试题下载站：www.sxbyedu.net 搏优教育网新闻资讯站 www.sxbyedu.com
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a6?100，则S11? ； 2、设Sn、Tn分别是等差数列?an?、?an?的前n项和，3、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若
Sn7n?2a，则5? . ?Tnn?3b5a55S?,则9?（ ） a39S5Sa2n4、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若n?,则n=（ ）
Tn3n?1bn5、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，Sn?m,Sm?n(n?m)，则Sm?n? .
6、在正项等比数列?an?中，a1a5?2a3a5?a3a7?25，则a3?a5?_______。 7、已知数列?an?是等差数列，若
a4?a7?a10?17,a4?a5?a6???a12?a13?a14?77且ak?13,则k?_________。
8、已知Sn为等比数列?an?前n项和，Sn?54，S2n?60，则S3n? .
9、在等差数列?an?中，若S4?1,S8?4，则a17?a18?a19?a20的值为（ ） 10、在等比数列中，已知a9?a10?a(a?0)，a19?a20?b，则a99?a100? . 11、已知?an?为等差数列，a15?8,a60?20，则a75? 12、等差数列?an?中，已知
SS41?,求8. S83S16B、求数列通项公式
1） 给出前几项，求通项公式
1,0,1,0,……1,3,6,10,15, 21,?,
3，-33,333，-3333,33333??
2）给出前n项和求通项公式
1、⑴Sn?2n2?3n； ⑵Sn?3n?1. 2、设数列?an?满足a1?3a2?3a3?…+3an?2n-1n(n?N*)，求数列?an?的通项公式 3
3）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭加法或迭代法；
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1
陕西搏优培训学校 北新街校区:029-86185067 北门校区：029-68873400 经开校区:029-89168134 金花北路校区：029-68873411
欢迎访问搏优教育网试题下载站：www.sxbyedu.net 搏优教育网新闻资讯站 www.sxbyedu.com
例：已知数列?an?中，a1?2,an?an?1?2n?1(n?2)，求数列?an?的通项公式； b、已知关系式an?1?an?f(n)，可利用迭乘法.an?例、已知数列?an?满足：
ann?1?(n?2),a1?2，求求数列?an?的通项公式； an?1n?1anan?1an?2aa?????3?2?a1an?1an?2an?3a2a1
c、构造新数列
1°递推关系形如“an?1?pan?q”，利用待定系数法求解
2°递推关系形如“，两边同除pn?1或待定系数法求解
n，求数列?an?的通项公式. a?1,a?2a?31n?1n例、
例、已知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式.
3°递推已知数列?an?中，关系形如“an?2?p?an?1?q?an”，利用待定系数法求解 例、已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?3an?1?2an，求数列?an?的通项公式.
4°递推关系形如\an?pan?1?qanan?（1p,q?0),两边同除以anan?1 例2、数列?an?中，a1?2,an?1?
d、给出关于Sn和am的关系
例1、设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?a,an?1?Sn?3n(n?N?)，设bn?Sn?3n， 求数列?bn?的通项公式．
2例2、设Sn是数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?an?Sn?例1、已知数列?an?中，an?an?1?2anan?（an?的通项公式. 1n?2),a1?2，求数列?2an(n?N?)，求数列?an?的通项公式.
4?an⑴求?an?的通项； ⑵设bn?
??1??(n?2). 2?Sn，求数列?bn?的前n项和Tn. 2n?1C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
Sn(n?N?).求证：数列?bn?是等差数列. n1例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.
2例1、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，bn? 求证：{
1}是等差数列； Sn
2）证明数列等比
?1?例1、设{an}是等差数列，bn＝??，求证：数列{bn}是等比数列；
?2?
陕西搏优培训学校 北新街校区:029-86185067 北门校区：029-68873400 经开校区:029-89168134 金花北路校区：029-68873411
an欢迎访问搏优教育网试题下载站：www.sxbyedu.net 搏优教育网新闻资讯站 www.sxbyedu.com
例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；
例3、已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?1，Sn?4an?2.
⑴设数列?bn?中，bn?an?1?2an，求证：?bn?是等比数列； ⑵设数列?cn?中，cn?an，求证：?cn?是等差数列；⑶求数列?an?的通项公式及前2nn例4、设Sn为数列?an?的前n项和，已知ban?2??b?1?Sn
n?1⑴证明：当b?2时，an?n?2是等比数列；
n项和.
??⑵求?an?的通项公式
例5、已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). ⑴证明：数列?an?1?an?是等比数列； ⑵求数列?an?的通项公式； ⑶若数列?bn?满足4b1?14b2?1...4n
b?1?(an?1)bn(n?N*),证明?bn?是等差数列.
D、求数列的前n项和
基本方法： 1）公式法， 2）拆解求和法.
例1、求数列{2n?2n?3}的前n项和Sn.
2，3，?，(n?例2、求数列1，1214181)，?的前n项和Sn. 2n例3、求和：2×5+3×6+4×7+?+n（n+3）
2）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111?(?)；
n(n?k)knn?k1n?n?1?n?1?n；
111???? 1?21?2?31?2?3???n1111?????例2、求和：. 2?13?24?3n?1?n例1、求和：S=1+
3）倒序相加法，
x2例、设f(x)?，求： 21?x11⑴f(14)?f(3)?f(2)?f(2)?f(3)?f(4)；
111⑵f(2010)?f(2009)???f(1)?f(2010). 3)?f(2)?f(2)???f(2009
4）错位相减法，
例、若数列?an?的通项an?(2n?1)?3n，求此数列的前n项和Sn.
陕西搏优培训学校 北新街校区:029-86185067 北门校区：029-68873400 经开校区:029-89168134 金花北路校区：029-68873411
欢迎访问搏优教育网试题下载站：www.sxbyedu.net 搏优教育网新闻资讯站 www.sxbyedu.com
5）对于数列等差和等比混合数列分组求和
2
例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
E、数列单调性最值问题
例1、数列?an?中，an?2n?49，当数列?an?的前n项和Sn取得最小值时，n? . 例2、已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a1?25,a4?16.当n为何值时，Sn取得最大值；
例3、数列?an?中，an?3n2?28n?1，求an取最小值时n的值.
例4、数列?an?中，an?n?n?2，求数列?an?的最大项和最小项.
*例5、设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3n，n?N．
2（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式；
（Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．
例6、已知Sn为数列?an?的前n项和，a1?3，SnSn?1?2an(n?2).
*⑴求数列?an?的通项公式；
⑵数列?an?中是否存在正整数k，使得不等式ak?ak?1对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列{an}中，前n项和Sn??(an?1)2， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?141(n?N*)，Tn?b1?b2???bn，是否存在最大的整数m，使得对任意
n(3?an)的n均有Tn?
m总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。 32F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,?
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?
例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的
8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为a1?4,经过n年后绿化的面积为an?1,试用10an表示 an?1；
⑵求数列?an?的第n?1项an?1；
⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:lg2?0.3010,lg3?0.4771)
陕西搏优培训学校 北新街校区:029-86185067 北门校区：029-68873400 经开校区:029-89168134 金花北路校区：029-68873411
高三数学第一轮复习 - 数列（知识点很全）
