(完整版)同角三角函数的基本关系及其应用

同角三角函数的基本关系应用方法

温燕红 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。

我们已经知道了三角函数的定义：

任意角?的终边上取点P，设点P的坐标为（x，y），OP=r，我们定义

xx叫做角?的余弦，记作cos?，即cos??；rryy叫做角?的正弦，记作sin?，即sin??；rryy叫做角?的正切，记作tan?，即tan??。xx

因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：

（1） 平方关系：sin2??cos2??1，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.

（2）商数关系：

sin??tan?，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的cos?正切。 注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当?的值使等式两边都有意义时才能成立。在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意“?”的选取。

考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。

4 例1：若sin???,且?是第三象限角，求cos?,tan?的值。

5解析：

4?sin???,?是第三象限角，53?4??cos???1?sin???1??????,

5?5?22sin?4?5?4???????cos?5?3?3分析：此类题型属于较易题型，在?角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。 tan??题型二 已知tan?的值，求关于sin?、cos?的齐次分式时，可将求值式变为关

1

于的代数式，此方法可称为弦化切。

4sin??2cos?例题2：已知tan??2，则=

5cos??3sin?4sin??2cos?解析：由题意可得，cos??0，把上下同时除以cos?，得到

5cos??3sin?4tan??24?2?26??。

5?3tan?5?3?2112sin2??sin?cos??cos2?例3：已知tan??2，求

4sin2??3cos2?解析：将分子、分母同时除以cos2?得

2tan2??tan??12?22?2?111原式???。 224tan??34?2?313例4：已知tan??3,求sin2??3sin?cos??1的值。 解析：?tan??3,sin2??cos2??1,

?原式?sin2??3sin??cos??(sin2??cos2?)2sin2??3sin??cos??cos2??sin2??cos2?2tan2??3tan??1?1?tan2??1

注：如果已知一个角的正切值，我们利用同角三角函数的基本关系式，可以联立求出正弦、余弦的值，代入也可以解得此类题型的答案，但是相比之下不如用弦化切的方法简单，所以，弦化切的方法是一个基本技巧，需要学生掌握。 题型三 三角函数的化简

在对三角函数化简时，在题设的条件下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求是使结果尽可能地简单。对化简的一般要求是： （1）项数要最少； （2）次数要最低； （3）函数种类要最少； （4）分母不含根号； （5）能求值的要求值。 例5：化简：解析：原式=

cos360?1?cos23601?2sin36cos36cos360?√sin23600

√(cos360?sin360)2 cos360?sin360=|cos360?sin360|

2

=cos360?sin360=1 注：此题中首先需要利用凑完全平方式，去根式。其次

一定要判断正余弦三角函数的大小。判断方法，我们只需根据三角函数线判断終边在第一象限与第三象限时三角函数值的大小即可。第二象限及第四象限的角的正余弦值一正一负很容易判断。口诀：0

因为4π<4<4π所以根据三角函数线知道：cos4>sin4

所以原式=cos4?sin4

题型四 注意1的妙用，在同角三角函数关系中，sin2α+cos2α=1,可变形成(sinα+cosα)2?2sinαcosα=1,期中sinα+cosα与sinαcosα很容易与一元二次方程中的韦达定理产生联系。若以sinα、cosα为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题。

例题7：已知：sinθ+cosθ=5，θ∈(0，π)，求值：(1)tanθ;(2)sinθ?cosθ. 解析：?sinθ+cosθ=5，θ∈(0，π)。

∴(sinθ+cosθ)2=25，即sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=25 ∴sinθcosθ=?25<0

sinθ>0,????????<0,且sinθ，cosθ是方程x2?5x?25=0的两根。 解方程得x1=5,x2=?5,∴sinθ=5,cosθ=?5. ∴(1)tanθ=cosθ=?3. (2)sinθ?cosθ=. 5

方法总结：同角三角函数的解题方法： （1）弦化切 （2）1的妙用

（3）对于已知sinα±cosα=型的问题，将两边平方。 （4）利用韦达定理，将sinα，cosα看做一元二次方程的两根

3

7

sinθ

4

4

3

4

31

12

12

1

1

1

1

5

6

cos360?sin360