【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 坐标系与参数方程课时跟
踪训练（选修4-4） 文
一、选择题
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) π??π??A.?1，? B.?1，－? C．(1,0) D．(1，π)
2?2???解析：ρ＝－2ρsin θ，∴x＋y＝－2y 即x＋(y＋1)＝1，圆心为(0，－1) π??∴圆心的极坐标为?1，－?.
2??答案：B
2．在极坐标系中，直线l过点A(2,0)，且极轴按逆时针方向旋转到直线l所形成的角π
的大小为，则直线l的极坐标方程为( )
6
π
A．ρsin－θ＝1
6C．ρsin θ＝1
π
B．ρsinθ－＝1
6π
D．ρsin＝1
6
2
2
2
2
2
解析：在极坐标系中，设直线l上任意一点P(ρ，θ)，则在△AOP中，由正弦定理得
ρπ
sinπ－6
＝2π
，化简得ρsin－θ＝1，所以，直线l的极坐标方程为 π6sin－θ6
ρsin－θ＝1.
答案：A
3．(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
1π
A．ρ＝，0≤θ≤ cos θ＋sin θ21π
B．ρ＝，0≤θ≤ cos θ＋sin θ4π
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 2π
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 4
解析：由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，y＝1－x可得ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝
π6
1
，
cos θ＋sin θ?π?再结合线段y＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈?0，?.
2??
1π
因此线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝，0≤θ≤.故选A.
cos θ＋sin θ2答案：A
4．(2014·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐
??x＝t＋1，
标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是?
?y＝t－3?
2
(t为参数)，
圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.14 B．214 C.2 D．22
解析：由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)＋y＝4.则圆心到直线的距离d＝2，故弦长＝2r－d＝22.
答案：D
??x＝3cos θ，
?5．已知点P是曲线C：??y＝4sin θ2
2
2
(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为原点．若
π
直线OP的倾斜角为，则点P坐标为( )
4
A.?C.?
?12，12?
??55??5，5?
??1212?
12??12
B.?－，－?
5??5
?55?D.?－，?
?1212?
??x＝3cos θ，
解析：由?
?y＝4sin θ?
(0≤θ≤π)，
可得＋＝1(0≤y≤4)，由于直线OP的方程为y＝x， 916
2?xx2y2
?＋＝10≤y≤4，那么由?916
??y＝x，
答案：A
y2
12
x＝，??5得?12
y＝??5.
?π??5π?6．在极坐标系中，如果等边三角形的两顶点是A?2，?，B?2，?，那么顶点C的坐
4??4??
标是( )
?3π?A.?4，?
4??
C．(23，π)
3π??π??B.?23，?或?23，－?
4??4??D．(3，π)
3π
解析：由题意，知等边三角形的边AB过极点，故顶点C的极径是23，极角是或－4π. 4
答案：B 二、填空题
?π?7．(2013·北京卷)在极坐标系中，点?2，?到直线ρsin θ＝2的距离等于________．
6???π?解析：由题意知，点?2，?的直角坐标是(3，1)，直线ρsin θ＝2的直角坐标方
6??
程是y＝2，所以所求的点到直线的距离为1.
答案：1
?x＝t，
?
8．(2014·湖北卷)已知曲线C1的参数方程是?3ty＝?3?
(t为参数)．以坐标原点
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．
?x＝t，
?
解析：由曲线C1的参数方程?3ty＝，?3?
2
得y＝3
x(x≥0)，① 3
曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，可得方程x＋y＝4，② 由①②联立解得?答案：(3，1)
9．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为
??x＝2＋cos α，?
?y＝1＋sin α?
2
?x＝3，
?y＝1，
故C1与C2交点的直角坐标为(3，1)．
π
的直线l与直线C：4
(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．
解析：由题意得曲线C的方程为(x－2)＋(y－1)＝1.又|AB|＝2，故直线l过曲线C的圆心(2,1)，则直线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0，故直线l的极坐标方程为
2
2
ρ(cos θ－sin θ)＝1.
答案：ρ(cos θ－sin θ)＝1 三、解答题
??x＝1＋cos φ，
10．(2015·辽宁五校联考)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程?
??y＝sin φ
(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
π
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM：θ＝与圆C的
3交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)圆C的普通方程是(x－1)＋y＝1， 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，
2
2
ρ1＝2cos θ1，??则有?π
θ，1＝?3?
ρ1＝1，??
解得?π
θ.1＝?3?
设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，
??ρ2sin θ2＋3cos θ2＝33，
则有?π
θ＝，2?3?
由于θ1＝θ2，
所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2， 所以线段PQ的长为2. 11．在平面直角坐标系xOy
ρ2＝3，??
解得?π
θ.2＝?3?
??x＝2－3sin α，
中，曲线C1的参数方程为?
?y＝3cos α－2?
(其中α为
参数，α∈R)．在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，曲线C2的π??极坐标方程为ρcos?θ－?＝a.
4??
(1)把曲线C1和C2的方程化为直角坐标方程；
3
(2)若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为，求曲线C2的直角坐标方程．
2解：(1)曲线C1：3sin α＝2－x,3cos α＝y＋2， 两式的平方和为(x－2)＋(y＋2)＝9； 曲线C2：
2
(ρcos θ＋ρsin θ)＝a，化为直角坐标方程为x＋y＝2a. 2
2
2
33
(2)曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为，则圆C1的圆心到直线C2的距离为R－＝
2233
3－＝， 22
3|2－2－2a|
由点到直线的距离公式得：＝，
21＋13
∴a＝±，
2
32
∴曲线C2的直角坐标方程为x＋y＝±，即2x＋2y＋32或2x＋2y－32＝0.
212．(2014·辽宁卷)将圆x＋y＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
??x＝x1，
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得?
?y＝2y1.?
2
2
y?y?22
由x＋y＝1，得x＋??＝1，即曲线C的方程为x＋＝1.
4?2?
2
1
21
2
2
??x＝cos t故C的参数方程为?
??y＝2sin t
(t为参数)．
y??x2＋＝1，
4(2)由???2x＋y－2＝0，
2
解得?
?x＝1，?
??y＝0，
或?
?x＝0，???y＝2.
1?1?不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为?，1?，所求直线斜率为k＝，于2?2?1?1?是所求直线方程为y－1＝?x－?，化为极坐标方程，并整理得
2?2?
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝
3
. 4sin θ－2cos θ
高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时跟踪训练(选修4-4)文
