【最新整理,下载后即可编辑】
典型试题分析 1、 证明题:
?1、试由毕奥-沙伐尔定律证明??B?0
?证明:由式:B?04?Jx'?r'?01''dv?Jx??dv又知?r34??r?0Jx''B????dv???A 式中11????4?r???J?x'???????J?x'?,因此 ''rr?Jxdv????A?0?4?r??????:由
????B??????A??0 所以原式得证。
???A2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式E?????.
?t证:在一般的变化情况中,电场E的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发,另一方面也受到变化磁场的激发,后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下,电场是有源和有旋的场,它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系,因而电场的表示式必然包含矢势A在内。
?A??B?A????E??0得:,该式表示矢量是E???t??t?t??A无旋场,因此它可以用标势?描述,E?????。因此,在一般
?t???A情况下电场的表示式为:E?????.。即得证。
?tB???A式代入??E??
3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式l?l0v21?2c。
答:用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示,设物体沿x轴方向运动,以固定于物体上的参考系为‘。若物体后端经过P1点(第一事件)与前端经过P2点(第二事?件)相对于?同时,则P1P2定义为?上测得的物体长度。物体两端‘在?上的坐标设为x1'和x2'。在?上P1点的坐标为x1,P2点的坐标为x2,两端分别经过P1和P2的时刻为t1?t2。对这两事件分别应用洛
【最新整理,下载后即可编辑】
伦兹变换式得 x1'?'x2?x1'?x1?vt11?vc22',x2?x2?vt21?vc22,两式相减,计及t1?t2,有
x2?x11?vc22?*?.式中x2?x1为?上测得的物体长度l(因为坐标
‘为?上测得的物体静止长度
‘l0。由于物体对?静止,所以对测量时刻t1'和t2'没有任何限制。由?*?x1和x2是在?上同时测得的),x2'?x1'式得l?l0v21?2c。
?4、 试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E????. 答:由于静电场的无旋性,得:?E?dl?0 设C1和C2为由P1点到P2点C1与-C2合成闭合回路,的两条不同路径。因此 ?E?dl??E?dl?0
C1C2即
C1?E?dl??E?dlC2 因此,
P2电荷由
P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关,而只和两端点有关。把单位
正电荷由P1点移至P2,电场E对它所作的功为:
P2P1?E?dl,这功定义为
P1点和P2点的电势差。若电场对电荷作了正功,则电势?下降。由
此,??P2????P1????E?dl由这定义,只有两点的电势差才有物理意
P1义,一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。
相距为dl的两点的电势差为 d???E?dl.由于
d????????dx?dy?dz????dl, 因此,电场强度?x?y?zE等于电势?的
负梯度 E????.
??25、 试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程?A???j。 答:已知恒定磁场方程??B??0J(1)(在均匀线性介质内),把B???A(2)代入(1)得矢势A的微分方程 ?????A???J.由矢量分析公式 ?????A??????A???2A.若取A满足规范条件??A?0 ,得矢势A的微分方程
?2A???J.
???A?0?【最新整理,下载后即可编辑】
6、试由电场的边值关系证明势的边值关系?2证:电场的边值关系为:
D2n?D1n???@?
?n??n?????E2?E1?0,?$???D2?D1??.?*?????2????11???. ??1?n,?*?式可写为
式中n为由介质1指向介质2
用标势将?@?表为: ?2??2????11???. ??1?n???的法线。利用D??E及E????,可
势的边值关系即得证。 7、
试由静电场方程证明泊松方程?2???。
?????E?0,(1)并知道 E????.(3)在均匀
???D??.(2)?各向同性线性介质中,D??E,将(3)式代入(2)得 ?2???,
? 答:已知静电场方程为:??为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程,即泊
松方程。
8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。
?(x)???E(x)???0??B?x????E(x)??表明,变化的磁场??t???B?x??0??E?x????B?x???0j?x???0?0?t?答:麦克斯韦方程组
可以激发电场,而变化的电场又可以激发磁场,因此,自然可以
推论电磁场可以互相激发,形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到,在真空的无源区域,电荷密度和电流密度均为零,在这样的情形下,对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程,得到 -?2E(x)??????B?x??,再把第四个方程对时?t【最新整理,下载后即可编辑】
????B?x???2E?x???0?0间求导,得到 ,从上面两个方程消去2?t?t?2E?x?????B?x??2?0。这就是标准的波动方程。,得到 ?E?x???0?0?t2?t对应的波的速度是1?c.
?0?0
9、 试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件
?????????n?E2?E1?0;n?D2?D1??;n?B2?B1?0. ????D?ds???dV??????????Sn?D2??Sn?D1???S. 解:即:?????n?D2?D1??fSV??D2n?D1n??对于磁场
??B,把?B?ds?0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面
S???上,重复以上推导可得:B2n?B1n即:n?B2?B1?0 ?? 作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路,矩形回路所在平面与界面垂直,矩形长边边长为?l,短边边长为?l'。因为
',作沿狭长矩形的E的路径积分。由于比?l小得多,?lE?dl?0?当?l'?0时,E沿?l'积分为二级小量,忽略沿?l'的路径积分,沿
界面切线方向积分为:E2t?l?E1t?l?0 即: E2t?E1t?0,?*?。?*?可
???以用矢量形式表示为:?E2?E1??t?0?@?
式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。
令矩形面法线方向单位矢量为t',它与界面相切,显然有
????将?#?式代入?@?式,则 E2?E1?n?t'?0,?$?,利用混合积公式????????'??A?B?C?C?A?B,t?E2?E1?n?0此式对任意t'都改写?#?式为:
???E?E成立,因此 21?n?0,此式表示电场在分界面切线方向分
t?n?t'?#?
??????????????量是连续的。
??2210、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程?E?kE?0
答:从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下,有D??E,B??H,把时谐电磁波的电场和磁场方程:
【最新整理,下载后即可编辑】
?B???E??,??t?iwt?E?x,t??E?x?e,???H??D,代入麦氏方程组 ??iwt?tB?x,t??B?x?e.???D?0,?????B?0.消去共同因子e?iwt后
得
???E?iw?H,???H??iw?E,?在此注意一点。在w?0的时谐电磁波情形下这????E?0,????H?0.组方程不是独立的。取第一式的散度,由于?????E??0,因而??H?0,即得第四式。同样,由第二式可导出第三式。在此,在一定频率下,只有第一、二式是独立的,其他两式可由以上两式导出。
取第一式旋度并用第二式得 ?????E??w2??E 由
?????E??????E???E???E,上式变为
22??2E?k2E?0,此为亥姆??k?w??.霍兹方程。
11、 试用边值关系证明:在绝缘介质与导体的分界面上,在静
电的情况下,导体外的电场线总是垂直于导体表面;在恒定电流的情况下,导体内的电场线总是平行于导体表面。
?证明:(1)导体在静电条件下达到静电平衡,所以导体内E1?0,
??????而:n?(E2?E1)?0,?n?E2?0,故E0垂直于导体表面。
(2)导体中通过恒定的电流时,导体表面
???f?0.?导体外E2?0,即:D2?0。
?????????而:n?(D2?D1)??f?0,即:n?D1?n??0E1?0,?n?E1?0。导体内电场方向和法线垂直,即平行于导体表面。
?12、 设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势,现引入一矢量函
?1?Z???数Z?x,t?(赫兹矢量),若令????Z,证明A?2.
c?t?证明:A和?满足洛伦兹规范,故有
?1????A?2?0.
?tc???????Z代入洛伦兹规范,有:
【最新整理,下载后即可编辑】
电动力学典型试题分析(完整资料).doc
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)