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典型试题分析 1、 证明题：
?1、试由毕奥－沙伐尔定律证明??B?0
?证明：由式：B?04?Jx'?r'?01''dv?Jx??dv又知?r34??r?0Jx''B????dv???A 式中11????4?r???J?x'???????J?x'?，因此 ''rr?Jxdv????A?0?4?r??????：由
????B??????A??0 所以原式得证。
???A2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式E?????.
?t证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。
?A??B?A????E??0得：，该式表示矢量是E???t??t?t??A无旋场，因此它可以用标势?描述，E?????。因此，在一般
?t???A情况下电场的表示式为：E?????.。即得证。
?tB???A式代入??E??
3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式l?l0v21?2c。
答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为‘。若物体后端经过P1点（第一事件）与前端经过P2点（第二事?件）相对于?同时，则P1P2定义为?上测得的物体长度。物体两端‘在?上的坐标设为x1'和x2'。在?上P1点的坐标为x1，P2点的坐标为x2，两端分别经过P1和P2的时刻为t1?t2。对这两事件分别应用洛
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伦兹变换式得 x1'?'x2?x1'?x1?vt11?vc22',x2?x2?vt21?vc22，两式相减，计及t1?t2，有
x2?x11?vc22?*?.式中x2?x1为?上测得的物体长度l（因为坐标
‘为?上测得的物体静止长度
‘l0。由于物体对?静止，所以对测量时刻t1'和t2'没有任何限制。由?*?x1和x2是在?上同时测得的），x2'?x1'式得l?l0v21?2c。
?4、 试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E????. 答：由于静电场的无旋性，得：?E?dl?0 设C1和C2为由P1点到P2点C1与－C2合成闭合回路，的两条不同路径。因此 ?E?dl??E?dl?0
C1C2即
C1?E?dl??E?dlC2 因此，
P2电荷由
P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，而只和两端点有关。把单位
正电荷由P1点移至P2,电场E对它所作的功为：
P2P1?E?dl,这功定义为
P1点和P2点的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势?下降。由
此，??P2????P1????E?dl由这定义，只有两点的电势差才有物理意
P1义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。
相距为dl的两点的电势差为 d???E?dl.由于
d????????dx?dy?dz????dl， 因此，电场强度?x?y?zE等于电势?的
负梯度 E????.
??25、 试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程?A???j。 答：已知恒定磁场方程??B??0J（1）（在均匀线性介质内），把B???A(2)代入（1）得矢势A的微分方程 ?????A???J.由矢量分析公式 ?????A??????A???2A.若取A满足规范条件??A?0 ，得矢势A的微分方程
?2A???J.
???A?0?【最新整理，下载后即可编辑】
6、试由电场的边值关系证明势的边值关系?2证：电场的边值关系为：
D2n?D1n???@?
?n??n?????E2?E1?0,?$???D2?D1??.?*?????2????11???. ??1?n，?*?式可写为
式中n为由介质1指向介质2
用标势将?@?表为： ?2??2????11???. ??1?n???的法线。利用D??E及E????,可
势的边值关系即得证。 7、
试由静电场方程证明泊松方程?2???。
?????E?0,(1)并知道 E????.(3)在均匀
???D??.(2)?各向同性线性介质中，D??E，将（3）式代入（2）得 ?2???，
? 答：已知静电场方程为：??为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊
松方程。
8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。
?(x)???E(x)???0??B?x????E(x)??表明，变化的磁场??t???B?x??0??E?x????B?x???0j?x???0?0?t?答：麦克斯韦方程组
可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以
推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到 －?2E(x)??????B?x??，再把第四个方程对时?t【最新整理，下载后即可编辑】
????B?x???2E?x???0?0间求导，得到 ，从上面两个方程消去2?t?t?2E?x?????B?x??2?0。这就是标准的波动方程。，得到 ?E?x???0?0?t2?t对应的波的速度是1?c.
?0?0
9、 试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件
?????????n?E2?E1?0;n?D2?D1??;n?B2?B1?0. ????D?ds???dV??????????Sn?D2??Sn?D1???S. 解：即：?????n?D2?D1??fSV??D2n?D1n??对于磁场
??B，把?B?ds?0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面
S???上，重复以上推导可得：B2n?B1n即：n?B2?B1?0 ?? 作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为?l，短边边长为?l'。因为
'，作沿狭长矩形的E的路径积分。由于比?l小得多，?lE?dl?0?当?l'?0时，E沿?l'积分为二级小量，忽略沿?l'的路径积分，沿
界面切线方向积分为：E2t?l?E1t?l?0 即： E2t?E1t?0,?*?。?*?可
???以用矢量形式表示为：?E2?E1??t?0?@?
式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。
令矩形面法线方向单位矢量为t'，它与界面相切，显然有
????将?#?式代入?@?式，则 E2?E1?n?t'?0,?$?，利用混合积公式????????'??A?B?C?C?A?B，t?E2?E1?n?0此式对任意t'都改写?#?式为：
???E?E成立，因此 21?n?0，此式表示电场在分界面切线方向分
t?n?t'?#?
??????????????量是连续的。
??2210、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程?E?kE?0
答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有D??E,B??H，把时谐电磁波的电场和磁场方程：
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?B???E??,??t?iwt?E?x,t??E?x?e,???H??D,代入麦氏方程组 ??iwt?tB?x,t??B?x?e.???D?0,?????B?0.消去共同因子e?iwt后
得
???E?iw?H,???H??iw?E,?在此注意一点。在w?0的时谐电磁波情形下这????E?0,????H?0.组方程不是独立的。取第一式的散度，由于?????E??0，因而??H?0，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。
取第一式旋度并用第二式得 ?????E??w2??E 由
?????E??????E???E???E，上式变为
22??2E?k2E?0,此为亥姆??k?w??.霍兹方程。
11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静
电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。
?证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内E1?0，
??????而：n?(E2?E1)?0,?n?E2?0,故E0垂直于导体表面。
（2）导体中通过恒定的电流时，导体表面
???f?0.?导体外E2?0,即：D2?0。
?????????而：n?(D2?D1)??f?0,即：n?D1?n??0E1?0，?n?E1?0。导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。
?12、 设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函
?1?Z???数Z?x,t?（赫兹矢量），若令????Z,证明A?2.
c?t?证明：A和?满足洛伦兹规范，故有
?1????A?2?0.
?tc???????Z代入洛伦兹规范，有：
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电动力学典型试题分析(完整资料).doc
